Question

如图，已知△BAC，AB=AC，O为△ABC外心，D为⊙O上一点，BD与AC的交点为E，且BC²=AC•CE
①求证：CD=CB；
②若∠A=30°，且⊙O的半径为3+，I为△BCD内心，求OI的长．

Answer 1

①证明：∵BC²=AC•CE，
∴=，
又∵AB=AC，
∴∠BCE=∠ABC，
∴△BCE∽△ACB，
∴∠CBE=∠A，
∵∠A=∠D，
∴∠D=∠CBE，
∴CD=CB；

②解：连接OB、OC，
∵∠A=30°，
∴∠BOC=2∠A=2×30°=60°，
∵OB=OC，
∴△OBC是等边三角形，
∵CD=CB，I是△BCD的内心，
∴OC经过点I，
设OC与BD相交于点F，
则CF=BC×sin30°=BC，
BF=BC•cos30°=BC，
所以，BD=2BF=2×BC=BC，
设△BCD内切圆的半径为r，
则S_△BCD=BD•CF=（BD+CD+BC）•r，
即•BC•BC=（BC+BC+BC）•r，
解得r=BC=BC，
即IF=BC，
所以，CI=CF-IF=BC-BC=（2-）BC，
OI=OC-CI=BC-（2-）BC=（-1）BC，
∵⊙O的半径为3+，
∴BC=3+，
∴OI=（-1）（3+）=3+3-3-=2．
分析：①先求出=，然后求出△BCE和△ACB相似，根据相似三角形对应角相等可得∠A=∠CBE，再根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等可得∠A=∠D，然后求出∠D=∠CBE，然后根据等角对等边即可得证；
②连接OB、OC，根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍求出∠BOC=60°，然后判定△OBC是等边三角形，再根据等腰三角形三线合一的性质以及三角形的内心的性质可得OC经过点I，设OC与BD相交于点F，然后求出CF，再根据I是三角形的内心，利用三角形的面积求出IF，然后求出CI，最后根据OI=OC-CI计算即可得解．
点评：本题是圆的综合题型，主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，三角形的内心的性质，（2）作辅助线构造出等边三角形并证明得到OC经过△BCD的内心I是解题的关键．