Question

15．在?ABCD中，AB＜BC，已知∠B=30°，AB=2$\sqrt{3}$，将△ABC沿AC翻折至△AB′C，使点B′落在?ABCD所在的平面内，连接B′D．若△AB′D是直角三角形，则BC的长为4或6．

Answer 1

分析 在?ABCD中，AB＜BC，要使△AB′D是直角三角形，有两种情况：∠B′AD=90°或∠AB′D=90°，画出图形，分类讨论即可．

解答 解：当∠B′AD=90°AB＜BC时，如图1，
∵AD=BC，BC=B′C，
∴AD=B′C，
∵AD∥BC，∠B′AD=90°，
∴∠B′GC=90°，
∵∠B=30°，AB=2$\sqrt{3}$，
∴∠AB′C=30°，
∴GC=$\frac{1}{2}$ B′C=$\frac{1}{2}$ BC，
∴G是BC的中点，
在Rt△ABG中，BG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×2$\sqrt{3}$=3，
∴BC=6；
当∠AB′D=90°时，如图2，
∵AD=BC，BC=B′C，
∴AD=B′C，
∵由折叠的性质：∠BAC=90°，
∴AC∥B′D，
∴四边形ACDB′是等腰梯形，
∵∠AB′D=90°，
∴四边形ACDB′是矩形，
∴∠BAC=90°，
∵∠B=30°，AB=2$\sqrt{3}$，
∴BC=AB÷$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$×$\frac{2}{\sqrt{3}}$=4，
∴当BC的长为4或6时，△AB′D是直角三角形．
故答案为：4或6．

点评 本题主要考查了翻折变换的性质，解题的关键是画出图形，发现存在两种情况，进行分类讨论．