Question

已知直线l₁∥l₂，直线l₃与直线l₁、l₂分别交于C、D两点．
（1）如图①，有一动点P在线段CD之间运动（不与C、D两点重合），问在点P的运动过程中是否始终具∠3+∠1=∠2这一相等关系？试说明理由；
（2）如图②，当动点P在线段CD之外运动（不与C、D两点重合），问上述结论是否还成立？若不成立，试写出新的结论并说明理由．

Answer 1

解：（1）∠3+∠1=∠2成立．
理由如下：
过点P作PE∥l₁，
∴∠1=∠APE；
∵l₁∥l₂，
∴PE∥l₂，
∴∠3=∠BPE；
又∵∠BPE+∠APE=∠2，
∴∠3+∠1=∠2．

（2）∠3+∠1=∠2不成立，新的结论为∠3-∠1=∠2．
理由如下：
过点P作PE∥l₁，
∴∠1=∠APE；
∵l₁∥l₂，
∴PE∥l₂，
∴∠3=∠BPE；
又∵∠BPE-∠APE=∠2，
∴∠3-∠1=∠2．
分析：（1）相等关系成立．过点P作PE∥l₁，则有∠1=∠APE，又因为PE∥l₂，又有∠3=∠BPE，因为∠BPE+∠APE=∠2，所以∠3+∠1=∠2；
（2）原关系不成立，过点P作PE∥l₁，则有∠1=∠APE；又因为PE∥l₂，又有∠3=∠BPE，困为此时∠BPE-∠APE=∠2，则有∠3-∠1=∠2．
点评：本题主要考查平行线的性质：两直线平行内错角相等，解题的关键在于作出正确的辅助线．