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    如图1，在同一平面内，四条线AB、BC、CD、DA首尾顺次相接，AD、BC相交于点O，AM、CN分别是∠BAD和∠BCD的平分线，∠B=α，∠D=β．
    （1）如图2，AM、CN相交于点P．
    ①当α=β时，判断∠APC与α的大小关系，并说明理由．
    ②当α＞β时，请直接写出∠APC与α，β的数量关系．
    （2）是否存在AM∥CN的情况？若存在，请判断并说明α，β的数量关系；若不存在，请说明理由．
    分析：（1）①当α=β时，根据三角形内角和定理得∠2+∠D=∠4+∠APC，∠OCD+∠D=∠B+∠OAB，则∠OCD=∠OAB，根据角平分线定义得∠2=∠4，所以∠APC=∠D=α；②∠2+∠D=∠4+∠APC，∠OCD+∠D=∠B+∠OAB，则∠2+β=∠4+∠APC，2∠2+β=α+2∠4，所以∠APC=
    1
    2
    （α+β）；
    （2）若AM∥CN，则∠4=∠5，由∠5=∠2+∠D得到∠4=∠2+β，同理得∠3=∠1+α，然后把两等式相加得到α+β=0，由此判断不存在AM∥CN．
    解答：解：（1）如图2，
    ①当α=β时，∠APC=α．理由如下：
    在△ANP和△CND中，∠2+∠D=∠4+∠APC，
    在△AOB和△COD中，∠OCD+∠D=∠B+∠OAB，
    ∵∠D=∠B=α，
    ∴∠OCD=∠OAB，
    ∵AM、CN分别是∠BAD和∠BCD的平分线，
    ∴∠OCD=2∠2，∠OAB=2∠4，
    ∴∠2=∠4，
    ∴∠APC=∠D=α；
    ②当α＞β时，∠APC=
    1
    2
    （α+β）；

    （2）不存在．理由如下：
    如图1，若AM∥CN，则∠4=∠5，
    ∵∠5=∠2+∠D，
    ∴∠4=∠2+β，
    同理得∠3=∠1+∠B，即∠3=∠1+α，
    ∴∠3+∠4=∠1+∠2+α+β，
    ∵AM、CN分别是∠BAD和∠BCD的平分线，
    ∴∠3=∠2，∠1=∠4，
    ∴α+β=0，
    ∴不存在AM∥CN．
    点评：本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．也考查了平行线的性质和三角形外角性质．
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90°，它们的斜边长为2，若△AFG绕点旋转，AF、AG与边BC的交点分别为点D、E（点D不与点B重合，点E不与点C重合）．
    （1）请在图1中找出两对相似而不全等的三角形，并选择其中一对进行证明；
    （2）△ABC的斜边BC所在的直线为x轴，BC边上的高所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系（如图2）．在边BC上找一点D使BD=CE，求出点D的坐标，并通过计算验证BD2+CE2=DE2；
    （3）在旋转过程中，（2）中的等量关系BD2+CE2=DE2是否始终成立？若成立请证明你的结论；若不成立，请说明理由．
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    当0°＜α＜60°时，下列关系式中有且仅有一个正确．
    A.2sin(α+30°)=sinα+
    		3

    B.2sin(α+30°)=2sinα+
    		3

    C.2sin(α+30°)=
    		3
    sinα+cosα
    （1）正确的选项是
     
    ；
    （2）如图1，△ABC中，AC=1，∠B=30°，∠A=α，请利用此图证明（1）中的结论；
    （3）两块分别含45°和30°的直角三角板如图2方式放置在同一平面内，BD=8
    		2
    ，求S△ADC．
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90°，它们的斜边长为4．若△ABC固定不动，△AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E（点D不与点B重合，点E不与点C重合），设BE=a，CD=b．
    （1）请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明；
    （2）求a•b的值；
    （3）在旋转过程中，当△AFG旋转到如图2的位置时，AG与BC交于点E，AF的延长线与CB的延长线交于点D，那么a•b的值是否发生了变化？为什么？
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （1）观察与猜想：已知当0°＜α＜60°时，下列关系式有且只有一个正确，正确的是
    C
    C
    （填代号）
    A．2sin（30°+α）=sinα+
    		3
       
    B．2sin（30°+α）=2sinα+
    		3

    C．2sin（30°+α）=
    		3
    sinα+cosα．
    （2）探究与证明：如图1，△ABC中，∠A=α，∠B=30°，AC=1，请利用图1证明（1）中你猜想的结论；
    （3）应用新知识解决问题：
    两块分别含有45°和30°的直角三角板如图2方式摆放在同一平面内，BD=8
    		2
    ，求S△ABC．

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