Question

如图所示，己知⊙O的弦AB垂直于直径CD，垂足为F，点E在AB上，且EA=EC。

(1)求证：AC²=AE?AB

(2)延长EC到点P，连结PB，若PB=PE，试判断PB与⊙O的位置关系，并说明理由。

Answer 1

(1)证明：连结BC，因为AB⊥CD，CD为⊙O的直径，所以BC=AC，所以∠1=∠2，

又因为AE=CE,所以∠1=∠3，所以△AEC∽△ACB，所以，

即AC²=AB?AE。

 (2)PB与⊙O相切，理由：连结OB，因为PB=PE，所以∠PBE=∠PEB，

因为∠l=∠2=∠3，所以∠PEB=∠1+∠3=2∠1，而∠PBE=∠2+∠PBC，

所以∠OBC=∠OCB，而Rt△BCF中，∠OCB=90°一∠2=90°一∠1，

所以∠OBC=90°一∠l，所以∠OBP=∠OBC+∠PBC=∠1+(90°一∠1)=90°，

所以PB⊥OB，即PB为⊙O的切线。(证明方法不唯一)