Question

在梯形ABCD中，AD∥BC，M，N分别是边AD，BC的中点，连结MN，已知AD=2，BC=6，若∠B与∠C互余，则MN的长为

2

．

Answer 1

分析：作出图形，过点M作ME∥AB，作MF∥CD，根据两直线平行，同位角相等可得∠MEF=∠B，∠MFE=∠C，再得到四边形ABEM和四边形CDMF是平行四边形，根据平行四边形的对边相等可得BE=AM，CF=MD，然后求出EF的长并判断出MN是△MEF的中线，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．

解答：解：如图，过点M作ME∥AB，作MF∥CD，
则∠MEF=∠B，∠MFE=∠C，
∵∠B与∠C互余，
∴∠MEF和∠MFE互余，
∴△MEF是直角三角形，且∠EMF=90°，
又∵AD∥BC，
∴四边形ABEM和四边形CDMF是平行四边形，
∴BE=AM，CF=MD，
∴EF=BC-BE-CF=BC-AD=6-2=4，
∵M，N分别是边AD，BC的中点，
∴AM=MD，BN=CN，
∴EN=BN-BE，NF=CN-CF，
∴EN=NF，
∴MN=

1

2

EF=

1

2

×4=2．
故答案为：2．

点评：本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，梯形的性质，作辅助线构造出直角三角形与平行四边形是解题的关键，作出图形更形象直观．