Question

如图1，抛物线C₁：y=x²-3x-4与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴的负半轴相交于C点．

（1）如图1，求：抛物线C₁顶点D的坐标；
（2）如图2，把抛物线C₁以1个单位长度/秒的速度向左平移得到抛物线C₂，同时△ABC以2个单位长度/秒的速度向下平移得到△A′B′C′，当抛物线C₂的顶点D′落在△A′B′C′之内时．设平移的时间为t秒．
①求t的取值范围；
②若抛物线C₂与y轴相交于E点，是否存在这样的t，使得∠A′EB′=90°？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）把抛物线C₁：y=x²-3x-4转化成顶点式即可．
（2）①由抛物线C₁：y=x²-3x-4可知A（-1，0），B（4，0），C（0，-4），求得BC所在的直线由y=x-4，则B′C′所在的直线y=x-4-2t，C′的顶点（

3

2

-t，-

25

4

）代入可得t的值

5

4

，同理可求得D′在A′C′的t值

15

8

，进而求得t的取值．
②通过三角形相似求得EF的值，然后由D′（

3

2

-t，-

25

4

）求得抛物线C₂的解析式，求得E的坐标，进而根据EF的长，求得t的值，再与（1）中的取值比较来看解得．

解答：解：（1）抛物线C₁：y=x²-3x-4=（x-

3

2

）²-

25

4

，
∴D（

3

2

，-

25

4

）．


（2）如图1、2
①∵抛物线C₁：y=x²-3x-4与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴的负半轴相交于C点．
∴A（-1，0），B（4，0），C（0，-4），
则CM=

9

4

，DM=

3

2

，AN=

25

4

，DN=

5

2

；
∵

CM

2

=

9

8

＜

3

2

，

AN

2

=

25

8

＞

5

2

；
∴抛物线C₂的顶点D′经过B′C′边进入△A′B′C′之内，经过A′C′边移出△A′B′C′外；
∴BC所在的直线为；y=x-4，B′C′所在的直线为：y=x-4-2t，
∴D′（

3

2

-t，-

25

4

），
代入y=x-4-2t，
得（

3

2

-t）-4-2t=-

25

4

；
解得；t=

5

4

，
直线AC所在直线y=-4x-4，A′C′所在直线y=-4x-4-2t，
当D′在直线A′C′上时，-4（

3

2

-t）-4-2t=-

25

4

；
解得t=

15

8

，
∴

5

4

＜t＜

15

8

．

②如图2所示；记A′B′与y轴的交点为F，假设存在t使得∠A′EB′=90°，
∵∠A′FE=∠EFB′=90°，∠A′EF=∠EB′F；
∴△A′FE∽△EFB′，
∴

EF

B′F

=

A′F

EF

，
∴EF²=A′F•B′F=1×4=4，
∴EF=2，
∴抛物线C₂为y=（x+t-

3

2

）²-

25

4

=x²+2（t-

3

2

）x+（t-

3

2

）²-

25

4

，
∴E{0，（t-

3

2

）²-

25

4

}，
∴EF=-2t-（t-

3

2

）²+

25

4

=2，
解得：t₁=2，t₂=-1（舍去），
∵t=2＞

15

8

，
∴不存在这样的t的值，使得∠A′EB′=90°．

点评：本题主要考查了相似三角形的性质，二次函数的综合应用，根据二次函数得出相关点的坐标是解题的基础．