Question

如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC=CD．
（1）试说明CE=CF．
（2）△BCE与△DCF全等吗？试说明理由．
（3）若AC=10，CE=6，AD=5，求DF的长
（4）若AB=21，AD=9，BC=CD=10，求AC的长．

Answer 1

解：（1）∵AC平分∠BAD，CE⊥AB CF⊥AD，
∴CE=CF（角平分线上的点到角的两边的距离相等）；

（2）全等．
理由如下：在Rt△BCE和Rt△DCF中，，
所以，Rt△BCE≌Rt△DCF（HL）；

（3）在Rt△ACE中，∵AC=10，CE=6，
∴AE===8，
在Rt△ACE和Rt△ACF中，，
∴Rt△ACE和Rt△ACF（HL），
∴AF=AE，
又∵AD=5，
∴DF=AF-AD=8-5=3；

（4）∵Rt△BCE≌Rt△DCF，
∴BE=DF，
∵Rt△ACE和Rt△ACF，
∴AE=AF，
∵AB=21，AD=9，
∴AD+DF=AB-BE，
即9+BE=21-BE，
解得BE=6，
在Rt△BCE中，CE===8，
又∵AE=AB-BE=21-6=15，
∴在Rt△ACE中，AC===17．
分析：（1）根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答即可；
（2）利用“HL”即可证明△BCE和△DCF全等；
（3）利用勾股定理列式求出AE的长度，然后利用“HL”证明△ACE和△ACF全等，根据全等三角形对应边相等可得AF=AE，再根据DF=AF-AD代入数据进行计算即可得解；
（4）根据全等三角形对应边相等可得BE=DF，然后求出BE的长度，然后求出AE，再根据勾股定理列式求出CE的长度，再利用勾股定理列式进行计算即可求出AC．
点评：本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理的应用，比较简单，熟记性质是解题的关键．