Question

已知：如图，四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，OB=OD，∠BAO=∠DCO．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）把线段AC绕O点顺时针旋转，使AC⊥BD，这时四边形ABCD是什么四边形？简要说明理由；
（3）在（2）中，当AC⊥BD后，又分别延长OA、OC到点A₁，C₁，使OA₁=OC₁=OD，这时四边形A₁BC₁D是什么四边形？简要说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据已知条件，可知要证四边形ABCD为平行四边形，只需再证OA=OC，只需证△AOB≌△COD即可；
（2）根据已知条件，可知要证四边形ABCD是菱形，只需证AC⊥BD即可；
（3）要证四边形A₁BC₁D是正方形，只需证AC=BD即可．

解答：（1）证明：∵AC与BD相交于点O，
∴∠AOB=∠COD，（1分）
在△AOB和△COD中，

∠BAO=∠DCO ∠AOB=∠COD OB=OD

∴△AOB≌△COD，（2分）
∴OA=OC，（3分）
∵OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD为平行四边形（4分）

（2）解：四边形ABCD是菱形．（5分）
因为对角线互相垂直平分的四边形是菱形．（6分）
（或对角线互相垂直的平行四边形是菱形）

（3）解：四边形A₁BC₁D是正方形（7分）
因为对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形．（8分）
（或对角线相等的菱形是正方形）

点评：本题考查了全等三角形的判定及平行四边形的判定，菱形的判定，正方形的判定，以及它们之间的联系．