Question

已知抛物线y=mx²-mx-2m交x轴于A（x₁，0），B（x₂，0）交y轴负半轴于C点，且x₁＜0＜x₂，（AO+OB）²=12CO+1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在x轴的下方是否存在着抛物线上的点P，使∠APB为锐角？若存在，求出P点的横坐标的范围；若不存在，请说明理由．
（3）如图点E（2，-5），将直线CE向上平移a个单位与抛物线交于M，N两点，若AM=AN，求a的值．

Answer 1

解：（1）抛物线y=mx²-mx-2m交x轴于A（x₁，0），B（x₂，0），
所以x₁+x₂=3，x₁•x₂=-4m，
∵抛物线y=mx²-mx-2m交y轴负半轴于C点，
∴点C（0，-2m），-2m＜0，
∴m＞0，
∵x₁＜0＜x₂，
∴AO+OB=-x₁+x₂，OC=|-2m|=2m，
∴（AO+OB）²=（-x₁+x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=9+16m，
12OC+1=24m+1，
∴9+16m=24m+1，
解得m=1，
即抛物线的解析式为：y=x²-x-2；

（2）易知：A点坐标为（-1，0），B点坐标为（4，0），C点坐标为（0，-2），
连接AC，BC，AC=，BC=2，AB=5，
∴AC²+BC²=AB²，
∴∠ACB=90°．
设C关于抛物线对称轴的对称点为C′，那么C′坐标为（3，-2），
根据抛物线的对称性可知：如果连接AC′、BC′，那么∠AC′B=90°，
因此如果以AB为直径作圆，那么此圆必过C，C′，
根据圆周角定理可知：x轴下方的半圆上任意一点和A、B组成的三角形都是直角三角形，
如果设P点横坐标为x，那么必有当0＜x＜3时，∠APB为锐角，
故当0＜x＜3时，∠APB为锐角；

（3）∵C（0，-2），E（2，-5），
∴直线CE的解析式为y=-x-2．
设直线CE向上平移a个单位后的解析式为y=-x+b，则-2+a=b，
设直线y=-x+b与抛物线y=x²-x-2交于M，N两点，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
∵-x+b=x²-x-2，
∴x²-2-b=0，
∴x₁+x₂=0，
∴点M与点N的横坐标互为相反数，
设点M与的横坐标为t，则M（t，-x+b），N（-t，t+b），
∵AM=AN，A（-1，0），
∴（t+1）²+（-t+b）²=（t-1）²+（t+b）²，
整理，得4t-6bt=0，
∵t=0时，M，N两点都与点C重合，不合题意舍去，
∴当t≠0时，b=，
此时-2+a=，解得a=．
故所求a的值为．
分析：（1）可根据（AO+OB）²=12CO+1以及一元二次方程根与系数的关系来求出m的值，进而可确定出抛物线的解析式；
（2）本题的关键是找出∠APB为直角时，P点的位置，根据（1）的抛物线不难得出A，B，C三点的坐标为（-1，0），（4，0），（0，-2）．如果∠APB为直角，那么点P必为以AB为直径的圆与抛物线的交点．据此可判断出∠APB为锐角时，P点横坐标的范围；
（3）由C（0，-2），E（2，-5），利用待定系数法求出直线CE的解析式为y=-x-2．设直线CE向上平移a个单位后的直线y=-x+b与抛物线y=x²-x-2交于M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）两点，令-x+b=x²-x-2，由根与系数的关系可知x₁+x₂=0，则点M与点N的横坐标互为相反数，设M（t，-x+b），则N（-t，t+b），根据AM=AN，由两点间的距离公式得出（t+1）²+（-t+b）²=（t-1）²+（t+b）²，解方程求出b的值，则a=b+2．
点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系，圆周角定理，二次函数、一次函数解析式的确定及交点问题，解析式的平移规律等知识点，有一定难度．要注意的是（2）中结合圆周角的相关知识来理解问题可使问题简化，（3）中根据一元二次方程根与系数的关系得到点M与点N的横坐标互为相反数是解题的关键．