Question

4．如图，四边形ABCD是矩形，把矩形沿对角线AC折叠，点B落在点E处，CE与AD相交于点O．
（1）求证：△AOE≌△COD；
（2）若OD=1，AB=$\sqrt{3}$，求△AOC的面积．

Answer 1

分析 （1）根据矩形的对边相等可得AB=CD，∠B=∠D=90°，再根据翻折的性质可得AB=AE，∠B=∠E，然后求出AE=CD，∠D=∠E，再利用“角角边”证明即可；
（2）根据全等三角形对应边相等可得AO=CO，解直角三角形求出CO，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠B=∠D=90°，
∵矩形ABCD沿对角线AC折叠点B落在点E处，
∴AB=AE，∠B=∠E，
∴AE=CD，∠D=∠E，
在△AOE和△COD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠E}\\{∠AOE=∠COD}\\{AE=CD}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△COD（AAS）；

（2）解：∵△AOE≌△COD，
∴AO=CO，
∵CD=AB=$\sqrt{3}$，
∴CO=$\sqrt{C{D}^{2}+O{D}^{2}}$=2，
∴△AOC的面积=$\frac{1}{2}$AO•CD=$\frac{1}{2}$×2×$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了翻折变换的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，熟记各性质并确定出三角形全等的条件是解题的关键．