Question

如图，CD与AB是⊙O内两条相交的弦，且AB为⊙O的直径，CE⊥AB于点E，CE=5，连接AC、BD．
（1）若sinD=

5

13

，则cosA=

12

13

；
（2）在（1）的条件下，求BE的长．

Answer 1

分析：（1）利用圆周角定理和三角函数的定义求得AC=13；然后根据勾股定理知AE=12；最后利用三角函数定义求cosA的值；
（2）连接BC．利用（1）的结果，在直角三角形ABC中，根据∠A的余弦三角函数值求得AB的长度，然后利用图中BE、AE以及AB间的数量关系来求BE的长度即可．

解答：解：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角）；
∵∠A=∠D（同弧所对的圆周角相等），
∴sin∠D=sin∠D=

CE

AC

=

5

13

；
又∵CE=5，
∴AC=13，
∴AE=12（勾股定理），
∴cosA=

AE

AC

=

12

13

．…（2分）

（2）如图，连接BC．
∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°．
∴由（1）知AC=13，AE=12，cosA=

12

13

．
在Rt△ACB中，cosA=

AC

AB

，
∴AB=

169

12

．…（4分）
∴BE=AB-AE=

25

12

．…（5分）

点评：本题综合考查了圆周角定理、同角三角函数的定义、勾股定理等知识．解答这类题一些学生往往不会综合运用所学知识解答问题，不知从何处入手造成错解．