Question

18．已知二次函数y=x²-（2m+1）+（$\frac{1}{2}$m²-1）．
（1）求证：不论m取什么实数，该二次函数图象与x轴总有两个交点；
（2）若该二次函数图象经过点（2m-2，-2m-1），求该二次函数的表达式．

Answer 1

分析 （1）首先求出b²-4ac的表达式，进而利用配方法求出其符号，进而得出答案；
（2）将已知点代入进而求出m的值得出答案．

解答 解：（1）∵b²-4ac=（2m+1）²-4（$\frac{1}{2}$m²-1）
=（4m²+4m+1）-2m²+4
=2m²+4m+5
=2（m+1）²+3＞0，
∴不论m取什么实数，方程x²-（2m+1）+（$\frac{1}{2}$m²-1）=0都有两个不相等的实数根，
∴不论m取什么实数，该二次函数图象与x轴总有两个交点；

（2）∵该二次函数图象经过点（2m-2，-2m-1），
∴（2m-2）²-（2m+1）（2m-2）+（$\frac{1}{2}$m²-1）=-2m-1，
解得：m₁=2，m₂=6，
当m=2时，该二次函数的表达式为：y=x²-5x+1，
当m=6时，该二次函数的表达式为：y=x²-13x+17．

点评 此题主要考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数的性质，正确得出m的值是解题关键．