Question

正方形ABCD的边长为1，M为AB的中点，N为BC的中点，AN、CM相交于点O，则四边形AOCD的面积是

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

A
分析：利用锐角的正切值相等求出∠BAN=∠BCM，然后利用“角角边”证明△AMO和△CNO全等，根据全等三角形对应边相等可得OM=ON，再利用“SSS”证明△BOM与△BON全等，根据全等三角形的面积相等以及等底等高的三角形的面积相等可得S_△AOM=S_△BOM=S_△BON=S_△CON，再根据△ABN的面积求出△AOM的面积，然后用正方形的面积减去四部分三角形的面积，计算即可得解．
解答：解：如图，连接OB，
∵M为AB的中点，N为BC的中点，
∴AM=MB=CN=NB=，
∴tan∠BAN=tan∠BCM=，
∴∠BAN=∠BCM，
在△AMO和△CNO中，
∵，
∴△AMO≌△CNO（ASA），
∴OM=ON，
在△BOM和△BON中，
∵，
∴△BOM≌△BON（SSS），
又∵M、N是AB，AC的中点，
∴S_△AOM=S_△BOM=S_△BON=S_△CON，
∵S_△ABN=×1×=，
∴S_△AOM=÷3=，
∴S_{四边形AOCD}=1-×4=．
故选A．
点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等底等高的三角形的面积相等，求出△BOM与△BON全等是解题的关键，作出图形更形象直观．