Question

如图，在正方形ABCD的边BC上任取一点M，过点C作CN⊥DM交AB于N，设正方形对角线交点为O．
（1）求证：△CDM≌△BCN；
（2）试确定OM与ON之间的数量关系和位置关系，并说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴CD=BC，CO=BO，∠BCD=∠ABC=90°∠OCM=∠OBN=45°，BD⊥AC，
∴∠BOC=90°，
∵CN⊥DM，
∴∠CDM+∠DCN=90°∠BCN+∠DCN=90°，
∴∠CDM=∠BCN，
在△CDM和△BCN中，，
∴△CDM≌△BCN（ASA）；

（2）解：OM与ON关系：OM=ON，OM⊥ON，
理由如下：∵△CDM≌△BCN（ASA），
∴CM=BN，
在△OCM和△OBN中，，
∴△OCM≌△OBN，
∴OM=ON，∠COM=∠BON，
∴∠COM+∠BOM=∠BON+∠BOM，
又∵∠BOC=∠COM+∠BOM=90°，
∴∠BON+∠BOM=90°=∠MON，
∴OM⊥ON．
分析：（1）首先由正方形的性质和CN⊥DM推出∴∠CDM+∠DCN=90°∠BCN+∠DCN=90°，即得∴∠CDM=∠BCN，从而得证；
（2）由（1）先推出CM=BN，所以推出△OCM≌△OBN，得出OM=ON，∠COM=∠BON，再推出∴BON+∠BOM=90°=∠MON，即OM⊥ON．
点评：此题考查的知识点是正方形的性质及全等三角形的判定与性质，关键是由正方形的性质通过证三角形全等得出结论．