Question

如图，已知平行四边形ABCD中，点E、F分别是边DC、AB的中点，AE、CF分别与对角线BD相交于点G、H，设

AB

=

a

，

AD

=

b

，分别求

GE

、

CH

关于向量

a

、

b

的表达式．

Answer 1

考点：*平面向量

专题：

分析：求出△ABG和△EDG相似，利用相似三角形对应边成比例可得

EG

AG

=

DE

AB

，再表示出

DE

，然后利用向量三角形法则求出

AE

，再求解即可；同理求出

CH

FH

，然后求出

CD

、

CB

，利用向量三角形法则求出

CF

，然后求解即可．

解答：解：∵点E是CD的中点，四边形ABCD是平行四边形，
∴DE=

1

2

CD=

1

2

AB，AB∥CD，
∴△ABG∽△EDG，
∴

EG

AG

=

DE

AB

=

1

2

，
∵

AB

=

a

，
∴

DE

=

1

2

a

，
由向量三角形法则得，

AE

=

AD

+

DE

=

1

2

a

+

b

；
∴

GE

=

1

1+2

AE

=

1

3

AE

=

1

6

a

+

1

3

b

；
同理可得

CH

FH

=2，
∵

AB

=

a

，

AD

=

b

，
∴

CD

=-

a

，

CB

=-

b

，
∴

BF

=-

1

2

a

，
由向量三角形法则得，

CF

=

BF

+

CB

=-

1

2

a

-

b

，
∴

CH

=

2

1+2

CF

=

2

3

（-

1

2

a

-

b

）=-

1

3

a

-

2

3

b

．

点评：本题考查了平面向量，平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，平面向量问题，熟记平行四边形法则和三角形法则是解题的关键．