Question

在平面直角坐标系中，将直线l：沿x轴翻折，得到一条新直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，将抛物线C₁：沿x轴平移，得到一条新抛物线C₂与y轴交于点D，与直线AB交于点E、点F．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若线段DF∥x轴，求抛物线C₂的解析式；
（3）在（2）的条件下，若点F在y轴右侧，过F作FH⊥x轴于点G，与直线l交于点H，一条直线m（m不过△AFH的顶点）与AF交于点M，与FH交于点N，如果直线m既平分△AFH的面积，又平分△AFH的周长，求直线m的解析式．

Answer 1

解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，
将直线与x轴、y轴交点分别为（-2，0），（0，），
沿x轴翻折，则直线、直线AB与x轴交于同一点（-2，0），
∴A（-2，0），
与y轴的交点（0，）与点B关于x轴对称，
∴B（0，），
∴，
解得，，
∴直线AB的解析式为；

（2）设平移后的抛物线C₂的顶点为P（h，0），

则抛物线C₂解析式为：=，
∴D（0，），
∵DF∥x轴，
∴点F（2h，），
又点F在直线AB上，
∴，
解得h₁=3，，
∴抛物线C₂的解析式为或；

（3）过M作MT⊥FH于T，MP交FH于N

∴Rt△MTF∽Rt△AGF．
∴FT：TM：FM=FG：GA：FA=3：4：5，
设FT=3k，TM=4k，FM=5k．
则FN=-FM=16-5k，
∴．
∵=48，
又．
∴．
解得或k=2（舍去）．
∴FM=6，FT=，MT=，GN=4，TG=．
∴M（，）、N（6，-4）．
∴直线MN的解析式为：．
分析：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，将直线与x轴、y轴交点求出，沿x轴翻折，则直线、直线AB交同一A点，与y轴的交点（0，）与点B关于x轴对称，求出K和b；
（2）设平移后的抛物线C₂的顶点为P（h，0），则抛物线C₂解析式为：，求出D点坐标，由DF∥x轴，又点F在直线AB上，解得h的值，就能抛物线C₂的解析式；
（3）过M作MT⊥FH于T，可证三角形相似，得FT：TM：FM=FG：GA：FA，设FT=3k，TM=4k，FM=5k，求得FN，又由，求得k，故能求得直线m的解析式．
点评：本题二次函数的综合题，涉及的知识有求直线的解析式和抛物线关系式，三角形相似等．