Question

如图，点A、B、C是⊙O上的三点，AB∥OC．
（1）求证：AC平分∠OAB；
（2）过点O作OE⊥AB于点E，交AC于点P．
①若AB=2，∠AOE=30°，求PE的长；
②若AB=10，OA=13，请直接写出OP的长．

Answer 1

（1）证明：∵AB∥OC，
∴∠C=∠BAC；
∵OA=OC，
∴∠C=∠OAC，
∴∠BAC=∠OAC，
即AC平分∠OAB；

（2）解：①∵OE⊥AB，AB=2，
∴，
又∵∠AOE=30°，∠OEA=90°，
∴OE=AE=，
∵AB∥OC．
∴=，即=，
∴=，
∴PE=OE=；
②∵AB=10，
∴AE=5，
在Rt△OAE中，OA=13，OE==12，
∵AB∥OC．
∴=，
∴=，
∴OP=×12=．
分析：（1）由AB∥OC，得∠C=∠BAC，而∠C=∠OAC，得到∠BAC=∠OAC；
（2）①由OE⊥AB，AB=2，得AE=AB=1，再由∠AOE=30°，∠OEA=90°，得到OE=AE=，然后根据AB∥OC，得到=，即=，利用比例的性质即可得到PE．
②和①的方法一样，先根据垂径定理得到AE=5，根据勾股定理得OE==12，再利用AB∥OC，得到=，利用比例的性质即可得到OP．
点评：本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．也考查了勾股定理、平行线的性质、三角形相似的性质以及比例的性质．