某工厂有100名工人在A型生产线上工作．经工厂多方考察，发现其生产受到限制，于是决定引入B型生产线．B型生产线上每人每日生产量比A型生产线多30件．一工人在B型生产线上生产100件产品的时间与原来在A型生产线上生产40件产品的时间相同．
（1）A型生产线上每人每日可生产多少件产品？
（2）工厂决定从这100名工人中分派一部分工人到B型生产线工作．分工后，继续在A型生产线上工作的工人的日均产量可增加25%，若要保证工厂分工后，A型生产线每日的总产量不少于分工前的每日总产量，而B型生产线每日的总产量不低于分工前A型生产线每日总产量的40%，则有多少种分派方案？（不写出具体方案）
（3）设工厂每日的总产量为P，在（2）题条件下，当多少人分派到B型生产线时，P有最大值？请写出此时的分派方案，并求出P的最大值．
分析：（1）设出A型生产线上每人每日可生产x件产品，则B型生产线上每人每日生产量为（x+30）件．又因为一工人在B型生产线上生产100件产品的时间与原来在A型生产线上生产40件产品的时间相同，所以可得关于x的分式方程，进而求出x；
（2）可设分派y人到B型生产线工作，则留在A型生产线上工作的工人为（100-y）人，再由题意列出不等式组，解出不等式组的正整数解，即可得到有多少种分派方案；
（3）由（2）可得到分派y人到B型生产线工作，则留在A型生产线上工作的工人为（100-y）人，并且每个生产线的产量可求出，即P可用含有y的代数式表示出来，再根据函数的增减性求出P有最大值；写出此时的分派方案即可．
解答：解：
（1）设A型生产线上每人每日可生产x件产品，则B型生产线上每人每日生产（x+30）件．由题意列方程得：
=
解得：x=20，经检验知20是原方程的根，
答：A型生产线上每人每日可生产20件产品；
（2）设分派y人到B型生产线工作，则留在A型生产线上工作的工人为（100-y）人，由题意列出不等式组得：
| | 20(100-y)(1+25%)≥2000 | | 50y≥2000×40% |
| |
，
解得：16≤y≤20，且y为整数，
∴y可取值为16；17；18；19；20；
∴有5种分派方案；
（3）设分派y人到B型生产线工作，则留在A型生产线上工作的工人为（100-y）人，其各自生产的数量为20（100-y）（1+25%）和50y，
∴P=20（100-y）（1+25%）+50y，
=25y+2500，
∵25＞0，
∴P随y的增加而增加，
∴当y=20时，P取得最大值为25×20+2500=3000（件），
∴此时的分配方案为20人在B型生产线工作，80人在A型生产线上工作．
答：当20人分派到B型生产线时，P有最大值3000件，此时的分配方案为20人在B型生产线工作，80人在A型生产线上工作．
点评：本题考查了分式方程的应用，一次函数的增减性及一元一次不等式组的应用，有一定的难度，解答此类题目的关键是设出未知数，根据题意列出表达式，然后再结合题意讨论符合条件的取值．
