Question

10、若p是质数，并且8p²+1也是质数，求证：8p²-p+2也是质数．

Answer 1

分析：由于最小的质数是2，故分别把2、3代入8p²+1找出符合条件的质数，再把p＞3时的质数分p=3k+1或p=3k+2（k是不小于1的整数）两种情况分别代入8p²+1检验，求出当p＞3时的质数均不适合8p²+1也是质数，原命题得证．

解答：解：当p=2时，8p²+1=33不是质数，所以p＞2；
而当p=3时，8p²+1=73是质数，8p²-p+2=71也是质数，符合题意．
当p＞3时，质数p就不是3的倍数，不妨设p=3k+1或p=3k+2（k是不小于1的整数），
则8p²+1=8（3k+1）²+1=3（24k²+16k+3）是合数；
或8p²+1=8（3k+2）²+1=3（24k²+32k+11）也是合数．
所以p既不是3k+1型质数，也不是3k+2型质数．
因此p=3，所以原命题成立．

点评：本题考查的是质数与合数，解答此题的关键是熟知最小的质数是2，大于3的质数可写成p=3k+1或p=3k+2（k是不小于1的整数）两种形式．