Question

20．如图，将边长为10的正三角形OAB放置于平面直角坐标系xOy中，C是AB边上的动点（不与端点A，B重合），作CD⊥OB于点D，若点C，D都在双曲线y=$\frac{k}{x}$上（k＞0，x＞0），则k的值为（　　）

• A． 25$\sqrt{3}$
• B． 18$\sqrt{3}$
• C． 9$\sqrt{3}$
• D． 9

Answer 1

分析 过点A作AE⊥OB于点E，根据正三角形的性质以及三角形的边长可找出点A、B、E的坐标，再由CD⊥OB，AE⊥OB可找出CD∥AE，即得出$\frac{BD}{BE}=\frac{BC}{BA}$，令该比例$\frac{BD}{BE}=\frac{BC}{BA}$=n，根据比例关系找出点D、C的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于k、n的二元一次方程组，解方程组即可得出结论．

解答 解：过点A作AE⊥OB于点E，如图所示．

∵△OAB为边长为10的正三角形，
∴点A的坐标为（10，0）、点B的坐标为（5，5$\sqrt{3}$），点E的坐标为（$\frac{5}{2}$，$\frac{5\sqrt{3}}{2}$）．
∵CD⊥OB，AE⊥OB，
∴CD∥AE，
∴$\frac{BD}{BE}=\frac{BC}{BA}$．
设$\frac{BD}{BE}=\frac{BC}{BA}$=n（0＜n＜1），
∴点D的坐标为（$\frac{10-5n}{2}$，$\frac{10\sqrt{3}-5\sqrt{3}n}{2}$），点C的坐标为（5+5n，5$\sqrt{3}$-5$\sqrt{3}$n）．
∵点C、D均在反比例函数y=$\frac{k}{x}$图象上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{10-5n}{2}×\frac{10\sqrt{3}-5\sqrt{3}n}{2}}\\{k=（5+5n）×（5\sqrt{3}-5\sqrt{3}n）}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{n=\frac{4}{5}}\\{k=9\sqrt{3}}\end{array}\right.$．
故选C．

方法2：
过C点作CE∥OA交OB于E，过E点作EF⊥OA于F，过D点作DG⊥EC于G，
设OF=a，则EC=10-2a，
∴C（10-a，$\sqrt{3}$a），DC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$EC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（10-2a）=$\sqrt{3}$（5-a），
∴DG=$\frac{1}{2}$DC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（5-a），EG=$\frac{DG}{\sqrt{3}}$=$\frac{1}{2}$（5-a），
∴D（$\frac{5}{2}$+$\frac{1}{2}$a，$\frac{5\sqrt{3}}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$a），
∵C，D都在双曲线上，
∴（$\frac{5}{2}$+$\frac{1}{2}$a）（$\frac{5\sqrt{3}}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$a）=（10-a）×$\sqrt{3}$a
解得a=1或5，当a=5时，C点和E点重合，舍去．
∴k=（10-a）×$\sqrt{3}$a=9$\sqrt{3}$．

方法3：
过点D作DE⊥x轴于点E，过C作CF⊥x轴于点F，如图所示．
设OE=a，则OD=2a，DE=$\sqrt{3}$a，
∴BD=OB-OD=10-2a，BC=2BD=20-4a，AC=AB-BC=4a-10，
∴AF=$\frac{1}{2}$AC=2a-5，CF=$\sqrt{3}$AF=$\sqrt{3}$（2a-5），OF=OA-AF=15-2a，
∴点D（a，$\sqrt{3}$a），点C（15-2a，$\sqrt{3}$（2a-5））．
∵点C、D都在双曲线y=$\frac{k}{x}$上（k＞0，x＞0），
∴a•$\sqrt{3}$a=（15-2a）×$\sqrt{3}$（2a-5），
解得：a=3或a=5．
当a=5时，DO=OB，AC=AB，点C、D与点B重合，不符合题意，
∴a=5舍去．
∴点D（3，3$\sqrt{3}$），
∴k=3×3$\sqrt{3}$=9$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、平行线的性质以及等边三角形的性质，解题的关键是找出点D、C的坐标．本题属于中档题，稍显繁琐，解决该题型题目时，巧妙的借助了比例来表示点的坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征找出方程组是关键．