Question

某大草原上有一条笔直的公路，在紧靠公路相距40千米的A，B两地，分别有甲，乙两个医疗站，如图，在A地北偏东45°，B地北偏西60°方向上有一牧民区C．一天，甲医疗队接到牧民区的求救电话，立刻设计了两种救助方案．
方案I：从A地开车沿公路到离牧民区C最近的D处，再开车穿越草地沿DC方向到牧民区C．
方案II：从A地开车穿越草地沿AC方向到牧民区C．已知汽车在公路上行驶的速度是在草地上行驶速度的3倍．
（1）求牧民区到公路的最短距离CD；
（2）你认为甲医疗队设计的两种救助方案，哪一种方案比较合理？并说明理由．（结果精确到0.1，参考数据：

3

取1.73，

2

取1.41）

Answer 1

（1）设CD为x千米，由题意得，∠CBD=30°，∠CAD=45°，
∴AD=CD=x，
在Rt△BCD中，tan30°=

3

3

=

x

BD

，所以BD=

3

x
∵AD+DB=AB=40，∴x+

3

x=40
解得x=20

3

-20≈14.6
所以，牧民区到公路的最短距离CD为14.6千米；

（2）设汽车在草地上行驶的速度为v，则在公路上行驶的速度为3v，
在Rt△ADC中，∠CAD=45°，∴AC=

2

CD，
方案I用的时间t₁=

AD

3v

+

CD

v

=

AD+3CD

3v

=

4CD

3v

方案II用的时间t₂=

AC

v

=

2 CD

v

（6分）
∴t₁-t₂=

4CD

3V

-

2 CD

V

=-

(3 2 -4)CD

3v

∵3

2

≈4.2，
∴3

2

-4＞0，
∴t₁-t₂＜0．
所以方案II用的时间多，方案I比较合理．