Question

9．如图，兴修水利开渠，其断面为等腰梯形，要与水平线的夹角为60°，湿透周长为定制l米（l=AB+BC+CD），问渠深x为$\frac{\sqrt{3}}{4}$l米时，可使水流量最大？

Answer 1

分析 设横截面面积为S，由条件知要使流量最大，只要求横截面积最大即可，作AE⊥BC，则AE=DF=x，利用三角函数求得AB=CD=$\frac{AE}{sin60°}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x、BE=$\frac{AE}{tan60°}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，根据l=AB+BC+CD得BC=l-（AB+CD）=l-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$x，AD=BC+2BE=l-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x=1-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x，根据梯形面积公式求得S=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x+l-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$x）•x=-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x²+lx，由二次函数的性质得出其最值情况可得答案．

解答 解：设横截面面积为S，由条件知要使流量最大，只要求横截面积最大即可．

过点A作AE⊥BC于点E，作DF⊥BC于点F，
则AE=DF=x，
则AB=CD=$\frac{AE}{sin60°}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x，BE=$\frac{AE}{tan60°}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
∵湿透周长为定制l米（l=AB+BC+CD），
∴BC=l-（AB+CD）=l-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$x，AD=BC+2BE=l-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x=1-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x，
∴S=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x+l-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$x）•x=-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x²+lx，
则当x=-$\frac{l}{2×（-\frac{2\sqrt{3}}{3}）}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$l时，S取得最大值，
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{4}$l．

点评 本题主要考查二次函数的应用，根据题意明确要使流量最大，只要求横截面积最大是解题的根本，由题中数据表示出梯形的上下底的长是解题的关键．