Question

在直角坐标系中，一次函数y=kx+b+2（k≠0）的图象与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，且使得△OAB的面积值等于|OA|+|OB|+3．
（1）用b表示k；
（2）求△OAB面积的最小值．

Answer 1

分析：（1）先求出A，B两点的坐标，然后表示出△OAB的面积，令其等于|OA|+|OB|+3即可用b表示k；
（2）化简所求式子后根据配方法即可求出△OAB面积的最小值．

解答：解：（1）令x=0，得y=b+2，b+2＞0，b＞-2；
令y=0，得x=-

b+2

k

＞0，k＜0．
所以A，B两点的坐标分别为A（-

b+2

k

，0），B（0，b+2），
于是，△OAB的面积为S=

1

2

（-

b+2

k

）（b+2）．
由题意，有

1

2

（-

b+2

k

）（b+2）=（-

b+2

k

）+（b+2）+3，
解得k=

-b2-2b

2(b+5)

；

（2）由（1）知S=

1

2

（-

b+2

k

）（b+2）=

(b+2)(b+5)

b

=b+

10

b

+7=（

b

-

10 b

）²+7+2

10

≥7+2

10

．
所以，△OAB面积的最小值为 7+2

10

．

点评：本题考查了一次函数的最值及三角形的面积，难度一般，关键是根据已知条件求出用b表示k后由配方法即可得出答案．