Question

9．已知关于x的方程x²-（2k-1）x+k²-3=0有两个实根x₁、x₂．
（1）求k的取值范围；
（2）若x₁、x₂满足x₁²+x₂²=5，求k的值．

Answer 1

分析 （1）由关于x的方程x²-（2k-1）x+k²-3=0有两个实根x₁、x₂，可得判别式△≥0，继而求得答案；
（2）由根与系数的关系可得x₁+x₂=2k-1，x₁•x₂=k²-3，又由x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂，即可求得答案．

解答 解：（1）∵关于x的方程x²-（2k-1）x+k²-3=0有两个实根x₁、x₂，
∴△=[-（2k-1）]²-4（k²-3）≥0，
解得：k≤$\frac{13}{4}$；
∴k的取值范围为：k≤$\frac{13}{4}$；

（2）∵x₁+x₂=2k-1，x₁•x₂=k²-3，x₁²+x₂²=5，
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=（2k-1）²-2（k²-3）=5，
解得：k=1．

点评 此题考查了根的判别式以及根与系数的关系．注意二次项系数为1，常用以下关系：x₁，x₂是方程x²+px+q=0的两根时，x₁+x₂=-p，x₁x₂=q．