Question

在全国抗击“非典”的斗争中，黄城研究所的医学专家们经过日夜奋战，终于研制出一种治疗非典型肺炎的抗生素．据临床观察：如果成人按规定的剂量注射这种抗生素，注射药液后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间t（小时）之间的关系近似地满足图所示的折线．
（1）写出注射药液后每毫升血液中含药量y与时间t之间的函数关系式及自变量的取值范围．
（2）据临床观察：每毫升血液中含药量不少于4微克时，控制“非典”病情是有效的．如果病人按规定的剂量注射该药液后，那么这一次注射的药液经过多长时间后控制病情开始有效这个有效时间有多长？
（3）假若某病人一天中第一次注射药液是早晨6点钟，问怎样安排此人从6：00～20：00注射药液的时间，才能使病人的治疗效果最好？

Answer 1

分析：（1）观察函数的图象可知，本题的函数是个分段函数，应该按自变量的取值范围进行分别计算．
当0-1小时的时候，函数图象是个正比例函数，可根据1小时的含药量用待定系数法进行求解；
当1-10小时时，函数的图形是个一次函数，可根据1小时和10小时两个时间点的含药量用待定系数法求函数的关系式．
（2）在0-1小时的时间段内，当含药量上升到4微克时，控制病情开始有效，那么让这个区间的函数值=4求出这个时间点．
同理，可在1-10小时的时间段内求出另一个时间点，他们的差就是药的有效时间．
（3）可根据（2）中求药液有效期的方法求出第二次注射的时间，在第三次注射时，要注意算上第二次药液有效期过后剩余的药液量，然后参照求第二次注射是时间的方法求出第三次注射的时间，依此类推．

解答：解：
（1）当0≤t≤1时，设y=k₁t，则6=k₁×1，∴k₁=6，∴y=6t；
当1＜t≤10时，设y=k₂t+b，∴

6=k2+b 0=10k2+b

解得

k2=- 2 3 b= 20 3

，y=-

2

3

t+

20

3

∴y=

6t(0≤t≤1) - 2 3 t+ 20 3 (1＜t≤10)

（2）当0≤t≤1时，令y=4，即6t=4，∴t=

2

3

（或6t≥4，∴t≥

2

3

）
当0＜t≤10时，令y=4，即-

2

3

t+

20

3

=4，∴t=4．
∴注射药液

2

3

小时后开始有效，有效时间长为：4-

2

3

=

10

3

（小时）．

（3）设第二次注射药液的时间是在第一次注射药液t₁小时后，则-

2

3

t₁+

20

3

=4，t₁=4（小时）．
∴第二次注射药液的时间是10：00；
设第三次注射药液的时间是在第一次注射药液t₂小时后，此时体内的含药量是第一次注射药液的含药量与第二次注射药液的含药量之和，∴-

2

3

t₂+

20

3

-

2

3

（t₂-4）+

20

3

=4，解得t₂=9（小时）．
∴第三次注射药液的时间是15：00；
设第四次的注射药液时间是在第一次注射药液t₃小时后，此时体内不再含第一次注射药液的药量（∵t＞10），体内的含药量是第二次注射药液的含药量与第三次注射药液的含药量之和．
∴-

2

3

（t₃-4）+

20

3

-

2

3

（t₃-9）+

20

3

=4，
解得t₃=13

1

2

（小时）．
∴第四次注射药液的时间是19：30．
∴安排此人注射药液的时间为：第一次注射药液的时间是6：00，第二次注射药液的时间是10：00，第三次注射药液的时间是15：00，第四次注射药液的时间是19：30，这样安排才能使病人的治疗效果最好．

点评：本题主要考查了分段函数的应用，要注意的是不同的自变量的取值范围内，函数意义的不同．