Question

如图，⊙O的弦AB∥CD，直径BE平分AD于点G，交弦CD于点H，过点B作BF∥AD交CD延长线于点F．
（1）求证：BF与⊙O相切；
（2）求证：DF=DH；
（3）若弦AB=5cm，AD=8cm，求⊙O的半径．

Answer 1

解：（1）证明：∵直径BE平分AD于点G，
∴BE⊥AD，
∵BF∥AD，
∴EB⊥BF，
∴BF与⊙O相切；
（2）∵AB∥CD，
∴∠ABG=∠GHD，∠A=∠GDH，
在△ABG和△DHG中，，
∴△ABG≌△DHG（AAS），
∴AB=DH，
∵AB∥CD，AD∥BF，
∴四边形ADFB是平行四边形，
∴DF=AB，
∴DF=DH；
（3）连接OA，
∵BE⊥AD，
∴AG=AD=×8=4（cm），∠BGA=90°，
∵AB=5cm，∴BG===3（cm），
设OA=xcm，则OG=OB﹣BG=x﹣3（cm），
∵OA²=OG²+AG²，
∴x²=16+（x﹣3）²，解得：x=．
∴⊙O的半径cm．