Question

已知：如图，AB是⊙O的直径，直线MN切⊙O于点C，AD⊥MN于D，AD交⊙O于E，AB的延长线交MN于点P．求证：AC²=AE•AP．

Answer 1

解：连接EC．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
又∵AD⊥MN于D，
∴BE∥MN，
∴∠ABE=∠APC，
又∵∠ACE=∠ABE，
∴∠ACE=∠APC．
∵BE∥MN，
∴∠ECD=∠BEC=∠PAC，
∵直线MN切⊙O于点C，
∴∠ECD=∠EAC，
∴∠EAC=∠PAC
∴△AEC∽△ACP，
∴=，
∴AC²=AE•AP．
分析：连接EC，易证BE∥MN，根据平行线的性质以及圆周角定理可以证明∠ACE=∠APC，根据弦切角定理与圆周角定理证得EAC=∠PAC，则△AEC∽△ACP，根据相似三角形的对应边的比相等即可证得．
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，以及圆周角定理、弦切角定理，证明线段的乘积相等的问题常用的思路就是转化成证明三角形相似．