Question

（1）如图1是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公式；
（2）伽菲尔德（1881年任美国第20届总统）利用（1）中的公式和图2证明了勾股定理（1876年4月1日发表在《新英格兰教育日志》上），现请你尝试证明过程．说明：c²=a²+b²．

Answer 1

解：（1）（a+b）²=a²+2ab+b²；

（2）如图，∵Rt△DEC≌Rt△EAB，
∴∠DEC=∠EAB，
∵∠EAB+∠AEB=90°，
∴∠DEC+∠AEB=90°，
∴△AED为等腰直角三角形，
∵S_梯形ABCD=S_△Rt△ABE+S_Rt△DCE+S_Rt△DEA，
∴（b+a）（a+b）=ab+ab+c²，即（a+b）²=2ab+c²，
∵（a+b）²=a²+2ab+b²，
∴a²+2ab+b²=2ab+c²，
∴c²=a²+b²．
分析：（1）边长为（a+b）的正方形分别由边长为a、b的正方形和两个长宽为a、b的长方形组成，利用面积法即可得到完全平方公式（a+b）²=a²+2ab+b²；
（2）易证得Rt△DEC≌Rt△EAB，则∠DEC=∠EAB，而∠EAB+∠AEB=90°，于是∠DEC+∠AEB=90°，可得到△AED为等腰直角三角形，再利用S_梯形ABCD=S_△Rt△ABE+S_Rt△DCE+S_Rt△DEA得到
（b+a）（a+b）=ab+ab+c²，然后再利用（1）中的结论即可得到c²=a²+b²．
点评：本题考查了勾股定理的证明：利用面积法证明勾股定理．