Question

（1998•温州）如图，二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B（点B在点A右侧），与y轴交于点C（0，2）．
（1）请说明a、b、c的乘积是正数还是负数；
（2）若∠OCA=∠CBO，求这个二次函数的解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据C点的坐标可知：c=2＞0，A，B均在x轴正半轴上，因此抛物线与x轴两交点的积＞0，因此a＞0，抛物线的对称轴-＞0，因此b＜0．可据此求出a，b，c的乘积的符号．
（2）若∠OCA=∠CBO，那么△COA∽△BOC，可据此求出OB的长，即可求出B点的坐标，进而可根据A，B，C三点的坐标求出抛物线的解析式．
解答：解：（1）由于抛物线过C（0，2），因此c=2＞0．
根据图形有：＞0，-＞0，
因此a＞0，b＜0．
∴abc＜0，即a、b、c的乘积是负数．

（2）∵∠OCA=∠CBO，∠COA=∠BOC=90°，
∴△COA∽△BOC，
∴，
即OB===4，
即B点坐标为（4，0）．
设抛物线的解析式为y=a（x-1）（x-4）．由于抛物线过C点，
因此a（0-1）×（0-4）=2，a=．
因此抛物线的解析式为y=（x-1）（x-4）．
点评：本题主要考查了相似三角形的判定和性质、韦达定理、二次函数的综合应用等知识点．