Question

已知：以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，与斜边AC交于点D，E为BC边上的中点，连结DE．

(1)如图，求证：DE是⊙O的切线；

(2)连结OE、AE，当∠CAB为何值时，四边形AOED是平行四边形，并在此条件下求sin∠CAE的值．

(第(2)问答题要求：不要求写出解题过程，只需将结果填写在答题卡相应题号的横线上．)

Answer 1

答案：
解析：

(1)证法一： 　　连结DO，OB 　　∵AB是⊙O的直径 　　∴∠ADB＝ 　　∴∠CDB＝ 　　∵E为BC边上的中点 　　∴CE＝EB＝DE 　　∴∠1＝∠2 　　∵OB＝OD 　　∴∠3＝∠4 　　∴∠1＋∠4＝∠2＋∠3 　　∵在Rt△ABC中，∠ABC＝∠2＋∠3＝ 　　∴∠EDO＝∠1＋∠4＝ 　　∵D为⊙O上的点 　　∴DE是⊙O的切线 　　证法二：连结OD，OE 　　∵OA＝OD 　　∴∠1＝∠2 　　∵E为BC边上的中点，O为AB边上的中点 　　∴OE∥AC 　　∴∠1＝∠3，∠2＝∠4 　　∴∠3＝∠4 　　∵OD＝OB，OE＝OE 　　∴△EDO≌△EBO 　　∴∠EDO＝∠EBO 　　∴△ABC为直角三角形 　　∴∠EBO＝ 　　∴∠EDO＝ 　　∵D为⊙O上的点 　　∴DE是⊙O的切线 　　(2)解：∠CAB＝ 　　sin∠CAE＝

提示：

根据切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径，要证明DE是⊙O的切线，只需证明∠EDO＝即可，故需连接DO．第(2)小问是条件开放式试题，是在图形变化和运动中让考生探求所需的条件，既有新意，又加大考查力度．