Question

已知点A是直线y=-3x+6与y轴的交点，点B在第四象限且在直线y=-3x+6上，线段AB 的长度是3

5

．将直线y=-3x+6绕点A旋转，记点B的对应点是B₁，若点B₁恰好落在x轴上，则sin∠B₁AB的值是

 

．

Answer 1

考点：一次函数图象与几何变换

专题：

分析：过点B作BD⊥y轴，垂足为D，利用三角形相似就可以求出B的坐标，再求出点B₁的坐标，过B₁作B₁E⊥AC，垂足为E，运用面积法求出B₁E即解．

解答：解：如图，设直线y=-3x+6与x轴交于点C，
则C（2，0）．
∴AC=

62+22

=2

10

，
过点B作BD⊥y轴，垂足为D，
∴△AOC∽△ADB，
∴

AC

AB

=

OC

DB

，
∴DB=

3 5 ×2

2 10

=

3

2

2

，
又∵

AC

AB

=

AO

AD

，
∴AD=

3 5 ×6

2 10

=

9

2

2

，
∴OD=

9 2

2

-6=

9 2 -12

2

，
∴点B（

3 2

2

，

9 2 -12

2

），
∴点B₁（-

3 2

2

，

9 2 -12

2

）．
当直线AB绕点A顺时针旋转，点B的对应点落在x负半轴上时，记点B的对应点为B₁．
∵AB=3

5

，由旋转的性质可知AB₁=AB=3

5

，
∴B₁O=

(- 3 2 2 )2+( 9 2 -12 2 )2

=3，
B₁C=5．
过B₁作B₁E垂直AC，垂足为E．
则有

1

2

×B₁E×AC=

1

2

×AO×B₁C，
∴B₁E=

6×5

2 10

=

3 10

2

，
在Rt△AB₁E中，sin∠B₁AB=

B1E

AB1

=

3 10 2

3 5

=

2

2

，
当直线AB绕点A逆时针旋转，点B的对应点落在x正半轴上时，记点B的对应点为B₂．
则B₂O=3，
过B₂向AB作垂线B₂F，垂足为F．
∵∠B₁EC=∠B₂FC=90°，∠ECB₁=∠FCB₂
∴△B₁EC∽△B₂FC，
∴

B1E

FB2

=

B1C

CB2

，
∴FB₂=

3 10

10

，
在Rt△AFB₂中，sin∠B₂AF=

B2F

AB2

=

2

10

，
∴sin∠B₁AB的值是

2

2

或

3 10

10

．
故答案为

2

2

或

3 10

10

．

点评：此题主要考查一次函数的图形和性质、相似三角形判定和性质及三角函数定义，此外还考查了对称和旋转的性质，综合性比较强．