Question

7．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D点，点E、F是线段AD上的三等分点，连接BE、CE、BF、CF，若$\frac{BC}{AD}=\frac{2}{3}$，且BC=4a．
（1）求四边形ABEC的面积；
（2）写出与△CEF相似但不全等的三角形，并证明其中的一对．

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形的性质三线合一证得BD=CD=$\frac{1}{2}BC=2a$，由点E、F是线段AD上的三等分点，得到DE=EF=AF=$\frac{1}{3}AD$，由于$\frac{BC}{AD}=\frac{2}{3}$，BC=4a，得到DE=EF=AF=2a，根据轴对称的性质得出结论．
（2）根据两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似证得结论．

解答 解：（1）∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD=$\frac{1}{2}BC=2a$，
∵点E、F是线段AD上的三等分点，
∴DE=EF=AF=$\frac{1}{3}AD$，
∵$\frac{BC}{AD}=\frac{2}{3}$，BC=4a，
∴DE=EF=AF=2a，
∴由轴对称性可知${S_{四边形ABEC}}=2{S_{△ACE}}=8{a^2}$；

（2）△CAE和△BAE．
由（1）得DE=2a，
∴$CE=2\sqrt{2}a$，
∴CE²=8a²，
∵AE•EF=8a²，
∴AE•EF=CE²，即$\frac{AE}{CE}=\frac{CE}{EF}$，
∵∠AEC=∠CEF，
∴△CEF∽△AEC．

点评 本题考查了等腰三角形的性质三线合一，轴对称的性质，相似三角形的判定，能利用轴对称的性质是解题的关键．