Question

如图，在△ABC中，D是AB中点，E和F分别是边AC、BC上的点，且DE⊥DF，求证：S_△DEF＜S_△ADE+S_△BDF．

Answer 1

考点：旋转的性质

专题：证明题

分析：先把△ADE绕D点旋转180°到△BDG，如图，连结GF，BG，根据旋转的性质得DG=DE，S_△ADE=S_△BDG，则S_△ADE+S_△BDF=S_△BDG+S_△BDF=S_{四边形BFDG}，
再证明∴S_△DEF=S_△DGF，然后利用S_△DGF＜S_{四边形BFDG}即可得到S_△DEF＜S_△ADE+S_△BDF．

解答：证明：∵D是AB中点，
∴把△ADE绕D点旋转180°到△BDG，如图，连结GF，BG，
∴△ADE≌△BDG，
∴DG=DE，S_△ADE=S_△BDG，
∴S_△ADE+S_△BDF=S_△BDG+S_△BDF=S_{四边形BFDG}，
∵DF⊥DE，DG=DE，
∴S_△DEF=S_△DGF，
而S_△DGF＜S_{四边形BFDG}，
∴S_△DEF＜S_△ADE+S_△BDF．

点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．