Question

在直角坐标平面xOy中，二次函数y=x²+2（m+2）x+m-2图象与y轴交于（0，-3）点．
（1）求该二次函数的解析式，并画出示意图；
（2）将该二次函数图象向左平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与x轴的另一个交点的坐标．

Answer 1

分析：（1）把点（0，-3）代入二次函数y=x²+2（m+2）x+m-2中得到m-2=-3，求出m=-1，即可确定抛物线的解析式；把y=x²+2x-3配成顶点式为y=（x+1）²-4，此抛物线的对称轴为直线x=-1，顶点坐标为（-1，-4），由此可画出抛物线的示意图；
（2）先令y=0，即x²+2x-3=0，解方程确定二次函数图象与x轴的两个交点坐标分别为（-3，0）、（1，0），要把点（1，0）向左平移到原点，需移一个单位，则点（-3，0）要移到点（-4，0）的位置，即平移后所得图象与x轴的另一个交点的坐标为（-4，0）．

解答：解：（1）由题意得m-2=-3，
解得m=-1，
故二次函数的解析式为y=x²+2x-3；如图，

（2）令y=0，即x²+2x-3=0，解得  x₁=-3，x₂=1，
则二次函数图象与x轴的两个交点坐标分别为（-3，0）、（1，0），
故二次函数图象向左平移1个单位后经过坐标原点，平移后所得图象与x轴的另一个交点坐标为（-4，0）．

点评：本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：把满足图象上三个点的坐标分别代入y=ax²+bx+c（a≠0）得到关于a、b、c的方程组，解方程组即可确定二次函数的解析式．也考查了二次函数与几何变换以及抛物线与x轴的交点坐标．