Question

13．在一次研究性学习活动中，同学们发现了一种直角三角形的作法，方法是（如图所示）：画线段AB，分别以点A、B为圆心，以大于$\frac{1}{2}$AB的长为半径画弧，两弧相交于点C，连结AC；再以点C为圆心，以AC长为半径画弧，交AC的延长线于D，连结DB．则△ABD就是直角三角形．

（1）请证明此作法的正确性；
（2）请利用上述方法作一个直角三角形，使其一个锐角为30°（写出作法，保留作图痕迹）．

Answer 1

分析 （1）连结BC，如图，利用等腰三角形的性质，由CA=CB得到∠CAB=∠CBA，由CD=CD得到∠D=∠CBD，则∠ABC=∠ABC+∠CBD=$\frac{1}{2}$（∠A+∠CBA+∠CBD+∠D），然后根据三角形内角和得到∠ABD=90°；
（2）由（1）的画法画直角△ABD，只是画出的△ABC为等边三角形，得到∠A=60°，则∠D=30°．

解答 解：（1）连结BC，如图，

∵CA=CB，
∴∠CAB=∠CBA，
∵CD=CD，
∴∠D=∠CBD，
∴∠ABC=∠ABC+∠CBD=$\frac{1}{2}$（∠A+∠CBA+∠CBD+∠D）=$\frac{1}{2}$×180°=90°，
∴△ABD就是直角三角形；
（2）画线段AB，分别以点A、B为圆心，以AB的长为半径画弧，两弧相交于点C，连结AC；再以点C为圆心，以AC长为半径画弧，交AC的延长线于D，连结DB．则△ABD就是直角三角形．
如图，

点评 本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．