Question

如图，已知：△ABC中，∠ACB=90°，DE垂直平分BC，交 BC于D点，交AB于E点，F是DE上的一点，且FC=AE，连接BF．
（1）求证：四边形BECF是菱形；
（2）当∠A等于多少度时，四边形BECF是正方形？为什么？

Answer 1

（1）证明：∵EF⊥BC，AC⊥BC
∴DE∥AC
∵BD=DC，
∴，
∴BE=EA
∵DE垂直平分BC，
∴BE=CE，BF=CF
∵FC=AE，
∴BE=CE=BF=CF
∴四边形BECF是菱形．

（2）解：当∠A=45°时，四边形BECF是正方形．
∵∠ABC=90°-∠A=45°
又∵BC平分∠EBF
∴∠EBF=2∠ABC=90°
∴四边形BECF是正方形．
分析：（1）易证DE∥AC，利用平行线分线段成比例定理可以证得E是直角△ABC的斜边的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及线段的垂直平分线的性质即可证得四边形BECF的四边相等，从而命题得证；
（2）四边形BECF是菱形，只要说明有一个角是直角即可，即∠CBA=45°，从而∠A是45°即可．
点评：本题考查了菱形的判定以及正方形的判定，直角三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，正确证明四边形BECF是菱形是关键．