Question

如图①，将两个完全相同的三角形纸片ABC与DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°．

（1）如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转．
①当点D恰好落在AB边上时，DE交BC于点F，则线段DF与AC有怎样的关系？请说明理由．
②设△BDC的面积为S₁，△AEC的面积为S₂，则S₁与S₂的数量关系是

 

，证明你的结论；
（2）当△DEC绕点C旋转到图③的位置时，设△BDC的面积为S₁，△AEC中的面积为S₂，猜想：S₁与S₂有怎样的数量关系？并证明你的猜想．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）①根据旋转的性质可得AC=CD，然后求出△ACD是等边三角形，根据等边三角形的性质可得∠ACD=60°，然后根据内错角相等，两直线平行解答；
②求得△BDC与△AEC是等底等高的三角形即可求得．
（2）过D点作DN⊥BC于N，AM⊥CE于M，先依据AAS求得△ACM≌△DCN求得AM=DN，然后根据等底等高的三角形面积相等．

解答：
（1）①DF∥AC；
解：如图②所示，
∵∠ACB=90°，∠B=∠E=30°，
∴∠A=∠CDE=60°，
∵AC=DC，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠ACD=60°=∠CDE，
∴DF∥AC，
∴∠CFD=90°，∠DCF=30°，
∴DF=

1

2

DC=

1

2

AC；
②S₁=S₂；
证明：∵在Rt△ABC中，∠B=30°，
∴AC=

1

2

AB，
∵AD=AC，
∴AC=BD，
作CG⊥AB，
∵△ACD是等边三角形，
∴CG=

3

2

AC，
∵DF∥AC，∠ACB=90°，
∴∠DFC=90°，
∵∠CDE=60°，
∴CF=

3

2

DC=

3

2

AC，
∵DF∥AC，
∴CF的长就是△AEC中AC边上的高，
∵S₁=

1

2

BD•CG=

1

2

AC•

3

2

AC=

3

4

AC²，S=

1

2

AC•CF=

1

2

AC•

3

2

AC=

3

4

AC²，
∴S₁=S₂；


（2）猜想：S₁=S₂；
证明：过D点作DN⊥BC于N，AM⊥CE于M，
∵∠ECD=90°，
∴∠DCM=90°
∴∠DCN=90°-∠NCM，
又∵∠ACM=90°-∠NCM，
∴∠ACM=∠DCN，
在△ACM与△DCN中

∠ACM=∠DCN AC=CD ∠AMC=∠DNC

，
∴△ACM≌△DCN（AAS），
∴AM=DN，
又∵CE=BC，
∴

1

2

BC•DN=

1

2

CE•AM，
即S₁=S₂．

点评：本题考查了等边三角形的判定及性质平行线的判定及性质，全等三角形的判定及性质以及等底等高的三角形面积相等．