Question

10．阅读下面材料，然后解答问题：
材料：（a+b）（a²-ab+b²）=a•a²-a•ab+a•b²+b•a²-b•ab+b•b²，于是合并后可得（a+b）（a²-ab+b²）=a³+b³，
（1）将下列多项式进行因式分解：x³+8y³=（x+2y）（x²-2xy+4y²）
（2）应用：有趣的“约分”$\frac{{{3^3}+{1^3}}}{{{3^3}+{2^3}}}=\frac{3+1}{3+2}$，$\frac{{5^3+{2^3}}}{{{5^3}+{3^3}}}=\frac{5+2}{5+3}$，$\frac{{{6^3}+{2^3}}}{{{6^3}+{4^3}}}=\frac{6+2}{6+4}$，$\frac{{{7^3}+{4^3}}}{{{7^3}+{3^3}}}=\frac{7+4}{7+3}$…
面对这样荒谬的“约分”，一笑之后，再认真检查，发现其结果竟然正确；
仔细观察式子，完成以下问题：
①$\frac{1{0}^{3}+{1}^{3}}{（）}$=$\frac{（）}{（）}$，
②猜想：$\frac{{a}^{3}+{b}^{3}}{（）}$=$\frac{（）}{（）}$
③你能证明你的猜想吗？

Answer 1

分析 （1）由阅读材料可知，a³+b³=（a+b）（a²-ab+b²），依此可将多项式x³+8y³进行因式分解；
（2）由已知四个等式，可得：
①$\frac{{{{10}^3}+{1^3}}}{{{{10}^3}+{9^3}}}=\frac{10+1}{10+9}$；
②$\frac{{{a^3}+{b^3}}}{{{a^3}+{{（{a-b}）}^3}}}=\frac{a+b}{{a+（{a-b}）}}$；
③利用a³+b³=（a+b）（a²-ab+b²），可得a³+（a-b）³=[a+（a-b）][a²-a（a-b）+（a-b）²]，整理得a³+（a-b）³=[a+（a-b）]（a²-ab+b²），再约分即可．

解答 （1）解：x³+8y³=（x+2y）（x²-2xy+4y²）；

（2）①解：$\frac{{{{10}^3}+{1^3}}}{{{{10}^3}+{9^3}}}=\frac{10+1}{10+9}$；

②解：$\frac{{{a^3}+{b^3}}}{{{a^3}+{{（{a-b}）}^3}}}=\frac{a+b}{{a+（{a-b}）}}$；

③证明：∵a³+b³=（a+b）（a²-ab+b²），
a³+（a-b）³=[a+（a-b）][a²-a（a-b）+（a-b）²]，
∴a³+（a-b）³=[a+（a-b）][a²-a²+ab+a²-2ab+b²]
整理得a³+（a-b）³=[a+（a-b）]（a²-ab+b²），
∴$\frac{{{a^3}+{b^3}}}{{{a^3}+{{（{a-b}）}^3}}}=\frac{a+b}{{a+（{a-b}）}}$．
故答案为（x+2y）（x²-2xy+4y²）．

点评 本题考查了因式分解的应用，学生的阅读理解能力与知识的迁移能力．读懂阅读材料可知，利用公式a³+b³=（a+b）（a²-ab+b²）进行因式分解是解题的关键．