Question

如图，已知：AC⊥AB，BD⊥AB，且AC=BE，AE=BD，求证：△CDE是等腰直角三角形．
证明：∵AC⊥AB，BD⊥AB∴∠CAE=∠DBE=90°
∵AC=BE，AE=BD∴△ACE≌△BED
∴CE=DE且∠ACE=∠BED
∵∠ACE+∠AEC=90°∴∠AEC+∠BED=90°
∴∠CED=90°∴△CED为等腰直角三角形
利用上题的解题思路解答下列问题：
在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分别为CB，CA延长线上的点，BE与AD的交点为P．
（1）若BD=AC，AE=CD，在下图中画出符合题意的图形，求出∠APE的度数；
（2）若AC=

3

BD，CD=

3

AE，则∠APE=

 

°．

Answer 1

分析：（1）作EF等于且平行BD，则EP平行FD，∠APE=∠ADF，可证AD=AF（全等），然后可得△AFD为等腰直角三角形．
所以∠APE=∠ADF=45°． 
（2）此题有2种解法，解法一：如图2，将AE平移到DF，连接BF，EF．则四边形AEFD是平行四边形，利用已知条件求证
△ACD∽△BDF．利用其对应边成比例可得

EF

BF

=

3

，然后再利用在Rt△BEF中，tan∠BEF=

BF

EF

=

3

3

即可求得答案．
解法二：如图3，将CA平移到DF，连接AF，BF，EF．则四边形ACDF是平行四边形．根据∠C=90°，可得四边形ACDF是矩形，分别求出tan∠3和tan∠1，再利用

DF

BF

=

AF

EF

=

3

2

，求证△ADF∽△EBF利用等量代换即可求得答案．

解答：解：（1）作EF等于且平行BD，则EP平行FD，
∴∠APE=∠ADF，
∴△ACD≌△AEF，
∴AD=AF，
∴△AFD为等腰直角三角形．
∴∠APE=45°．
答：∠APE的度数为45°．

（2）解法一：如图2，
将AE平移到DF，连接BF，EF．
则四边形AEFD是平行四边形．
∴AD∥EF，AD=EF．
∵AC=

3

BD，CD=

3

AE，
∴

AC

BD

=

3

，

CD

AE

=

CD

DF

=

3

．
∴

AC

BD

=

CD

DF

．
∵∠C=90°，
∴∠BDF=180°-∠C=90°．
∴∠C=∠BDF．
∴△ACD∽△BDF．
∴

AD

BF

=

AC

BD

=

3

，∠1=∠2．
∴

EF

BF

=

AD

BF

=

3

．
∵∠1+∠3=90°，
∴∠2+∠3=90°．
∴BF⊥AD．
∴BF⊥EF．
∴在Rt△BEF中，tan∠BEF=

BF

EF

=

3

3

．
∴∠APE=∠BEF=30°．
解法二：如图3，将CA平移到DF，
连接AF，BF，EF．
则四边形ACDF是平行四边形．
∵∠C=90°，
∴四边形ACDF是矩形，
∠AFD=∠CAF=90°，∠1+∠2=90°．
∵在Rt△AEF中，tan∠3=

AE

AF

=

AE

CD

=

3

3

，
在Rt△BDF中，tan∠1=

BD

DF

=

BD

AC

=

3

3

，
∴∠3=∠1=30°．
∴∠3+∠2=∠1+∠2=90°，即∠EFB=90°．
∴∠AFD=∠EFB．
又∵

DF

BF

=

AF

EF

=

3

2

，
∴△ADF∽△EBF．
∴∠4=∠5．
∵∠APE+∠4=∠3+∠5，
∴∠APE=∠3=30°．
答：∠APE的度数为30°．

点评：此题主要考查相似三角形的判定与性质和解直角三角形等知识点，综合性较强，有一定的拔高难度，属于难题．