Question

已知：如图，△ABE中，AB=AE，以AB为直径的⊙O交BE于C，过点C作CD⊥AE于D，DC的延长线与AB的延长线交于点P．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）若AE=10，BE=12，求DC的长．

Answer 1

分析：（1）连接OC，PD⊥AE，则∠DCE+∠E=90°，由AB=AE，OB=OC，得∠CBA=∠E=∠BCO，得出∠PCB+∠BCO=90°，即可得出PD是⊙O的切线．
（2）连接AC，由勾股定理得AC=8，即可证明△EDC∽△BCA，则

DC

CA

=

EC

BA

，代入数据即可得出答案．

解答：（1）证明：连接OC，
∵PD⊥AE于D，
∴∠DCE+∠E=90°，
∵AB=AE，OB=OC，
∴∠CBA=∠E=∠BCO，
∵∠DCE=∠PCB，
∴∠PCB+∠BCO=90°，
∴PD是⊙O的切线．

（2）解：连接AC，∵AB=AE=10，AB是⊙O的直径，BE=12，
∴AC=BE，EC=BC=6，在△ABC中，AB=10，BC=6，∠ACB=90°，由勾股定理得AC=8．
又∵∠CBA=∠E，∠EDC=∠ACB=90°，
∴△EDC∽△BCA，
∴

DC

CA

=

EC

BA

，
∴

DC

8

=

6

10

，
∴DC=

24

5

…5分

点评：本题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理、切线的判定和性质，是重点内容要熟练掌握．