Question

已知：⊙O是△ABC的外接圆，AB为⊙O的直径，弦CD交AB于E，∠BCD=∠BAC．
（1）求证：AC=AD；
（2）过点C作直线CF，交AB的延长线于点F，若∠BCF=30°，则结论“CF一定是⊙O的切线”是否正确？若正确，请证明；若不正确，请举反例．

Answer 1

证明：（1）连接AD，
∵∠BCD=∠BAC，∠CBE=∠ABC，
∴△CBE∽△ABC，
∴∠BEC=∠BCA=90°，
∴∠CBA=∠ECA，
又∵∠D=∠ABC，
∴∠D=∠ACD，
∴AC=AD．

（2）连接OC，令∠CAB=20°，
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠CAB=20°，
∴∠COB=20°+20°=40°，
∴∠OCB=（180°-40°）=70°，
∴∠FCO=∠FCB+∠OCB=70°+30°=100°，
故此时FC不是⊙O的切线．
同理，当∠CAB=50°时，FC不一定是⊙O的切线．
分析：（1）连接AD．根据∠BCD=∠BAC，∠CBE=∠ABC，证出△CBE∽△ABC，可得∠BEC=90°，于是∠D=∠CBA=∠ACD，故AC=AD．
（2）连接OC，不正确，可令∠CAB=20°，据此推出∠OCF≠90°，从而证出∠BCF=30°时“CF不一定是⊙O的切线”．
点评：本题考查了切线的判定、垂径定理、圆周角定理，作出辅助线OC、AD是解题的关键．