Question

14．如图，已知在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点P为BC边上一动点（BP＜CP），分别过B、C作BE⊥AP于点E，CF⊥AP于点F，试说明：EF=CF-BE．

Answer 1

分析 由BE⊥AP，CF⊥AP可以得出∠AEB=∠AFC=90°，根据∠BAC=90°就可以求出∠BAE=∠ACF，就可以得出△ABE≌△CAF，而得出AE=CF，BE=AF得出结论．

解答 证明：∵BE⊥AP，CF⊥AP，
∴∠AEB=∠AFC=90°．
∴∠FAC+∠ACF=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAE+∠FAC=90°，
∴∠BAE=∠ACF．
在△ABE和△CAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEB=∠AFC}\\{∠BAE=∠ACF}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CAF（AAS），
∴AE=CF，BE=AF．
∵EF=AE-AF，
∴EF=CF-BE．

点评 本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，直角三角形的性质的运用．解答时证明三角形全等是解答本题的关键．