Question

10．如图，点A（-10，0），B（-6，0），点C在y轴的正半轴上，∠CBO=45°，CD∥AB，∠CDA=90°．点P从点Q（8，0）出发，沿x轴向左以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，运动时间为t秒．
（1）求点C的坐标．
（2）当∠BCP=15°时，求t的值．
（3）以PC为直径作圆，当该圆与四边形ABCD的边（或边所在的直线）相切时，求t的值．

Answer 1

分析 （1）由题意可知△BOC是等腰直角三角形，由此即可解决问题．
（2）如图1中，分两种情形①当点P在点B右侧时，②当点P′在点B左侧时，分别解直角三角形即可．
（3）如图2中，由题意知，若该圆与四边形ABCD的边相切，有三种情况：①当该圆与BC相切于点C时．②当该圆与CD相切于点C时．③当该圆与AD相切时，设P₃（8-t，0），设圆心为M，则M（$\frac{8-t}{2}$，3），半径r=（$\frac{8-t}{2}$）²+3²，列出方程即可解决问题．分别求出PQ即可解决问题．

解答 解：（1）∵∠BOC=90°，∠CBO=45°，
∴∠BCO=∠CBO=45°，
∵B（-6，0），
∴OC=OB=6，
∴C（0，6）；

（2）如图1中，

①当点P在点B右侧时，
∵∠BCO=45°，∠BCP=15°，∴∠POC=30°，
∴OP=2$\sqrt{3}$
∴t₁=8+2$\sqrt{3}$．
②当点P′在点B左侧时，
∵∠BCO=45°，∠BCP′=15°，∴∠P′CO=60°，
∴OP′=6$\sqrt{3}$，
∴t₂=8+6$\sqrt{3}$．
综上所述：t的值为8+2$\sqrt{3}$或8+6$\sqrt{3}$．

（3）如图2中，由题意知，若该圆与四边形ABCD的边相切，有以下三种情况：

①当该圆与BC相切于点C时，有∠BCP=90°，
从而∠OCP=45°，得到OP₁=6，此时P₁Q=2，
∴t=2； 
②当该圆与CD相切于点C时，有P₂C⊥CD，即点P₂与点O重合，
此时P₂Q=8，
∴t=8； 
③当该圆与AD相切时，设P₃（8-t，0），设圆心为M，则M（$\frac{8-t}{2}$，3），半径r=（$\frac{8-t}{2}$）²+3²，
作MH⊥AD于点H，则MH=$\frac{8-t}{2}$-（-10）=14-$\frac{t}{2}$，
当MH²=r²时，得（14-$\frac{t}{2}$）²=（$\frac{8-t}{2}$）²+3²，
解得t=17.1，
∴t的值为2或8或17.1．

点评 本题考查圆综合题、矩形的性质、锐角三角函数，解直角三角形等知识，解题的关键是学会分类讨论，注意不能漏解，学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题．