Question

在等腰直角△ABC中，∠ABC=90°，在等腰直角△BEF中，∠EBF=90°，连接AE，CF．
求证：（1）AE=CF；
      （2）AE⊥CF．

Answer 1

分析：（1）根据等腰直角三角形的性质得到BA=BC，∠2+∠EBC=90°，BE=BF，∠1+∠EBF=90°，则∠2=∠1，再根据全等三角形的判定方法得到△BEA≌△BFC，然后根据全等三角形的性质即可得到AE=CF；
（2）由△BEA≌△BFC得到∠4=∠3，利用对顶角相等得到∠5=∠6，然后利用三角形内角和定理得到∠CHO=∠ABO=90°，则AE⊥CF．

解答：证明（1）∵△ABC为等腰直角三角形，∠ABC=90°，
∴BA=BC，∠2+∠EBC=90°，
∵△BEF为等腰直角三角形，∠EBF=90°，
∴BE=BF，∠1+∠EBC=90°，
∴∠2=∠1，
在△BEA和△BFC中

BA=BC ∠2=∠1 BE=BF

，
∴△BEA≌△BFC（SAS），
∴AE=CF；

（2）延长AE交BC于点O，交CF于点H，如图，
∵△BEA≌△BFC，
∴∠4=∠3，
∵∠5=∠6，
∴∠CHO=∠ABO=90°，
∴AE⊥CF．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质：有两组角分别相等，且它们所夹的边对应相等，那么这两个三角形全等；全等三角形的对应边相等．也考查了等腰直角三角形的性质．