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如图,已知抛物线y=ax+bx-4经过点A(-2,0),B(4,O)与y轴交于C点.
作业宝
(1)求抛物线的解析式.
(2)若D点坐标为(0,2),P为抛物线第三象限上一动点,连PO交BD于M点,问是否存在一点P,使数学公式=数学公式?若存在,求P点坐标;不存在,请说明理由.
(3)G为抛物线第四象限上一点,OG交BC于F,求当GF:OF的比值最大时G点的坐标.

解:(1)∵抛物线y=ax+bx-4经过点A(-2,0),B(4,O),

解得
∴抛物线解析式为y=x2-x-4;

(2)如图1,过点M作MR⊥y轴于R,过点P作PG⊥y轴于G,
则△OMR∽△OPG,
==
=
==
∵B(4,O),D(0,2),
∴直线BD的解析式为y=-x+2,
∵点M在BD上,
∴设点M的坐标为(2m,-m+2),
则点P的坐标为(-3m,m-3),
把点P坐标代入抛物线得,×(-3m)2-(-3m)-4=m-3,
整理得,9m2+3m-2=0,
解得m1=,m2=-
∵点P在第三象限,
∴点P的坐标为(-1,-);

(3)如图2,过点O作OE⊥BC于E,过点G作GH⊥BC于G,
则△OEF∽△GHF,
=
∵OE是Rt△OBC斜边BC上的高,不变,
∴GH最大时,GF:OF的比值最大,
因此,直线BC平移到与第四象限的抛物线有且只有一个交点时距离最大,
令x=0,则y=-4,
∴点C的坐标为(0,-4),
又∵点B(4,0),
∴直线BC的解析式为y=x-4,
设平移直线BC得到y=x+h,
联立
消掉y得,x2-4x-8-2h=0,
△=b2-4ac=(-4)2-4×1×(-8-2h)=48+8h=0,
解得h=-6,
解得
∴点G的坐标为(2,-4).
分析:(1)把点A、B的坐标代入抛物线解析式,利用待定系数法求函二次数解析式解答;
(2)过点M作MR⊥y轴于R,过点P作PG⊥y轴于G,然后根据△OMR和△OPG相似,利用相似三角形对应边成比例列式表示出点M、P的坐标之间的关系,再利用待定系数法求一次函数解析式求出直线BD的解析式,设出点M的坐标,再表示出点P的坐标,然后根据点P在抛物线上列出方程求解即可;
(3)过点O作OE⊥BC于E,过点G作GH⊥BC于G,可得△OEF和△GHF相似,然后利用相似三角形对应边成比例可得=,从而得到当GH最大时,比值最大,再求出直线BC的解析式,根据与直线BC平行的直线与抛物线有且只有一个交点时距离最大,然后与抛物线联立消掉未知数y,利用根的判别式△=0列式求解即可.
点评:本题是二次函数综合题型,主要利用了待定系数法求二次函数解析式,相似三角形的判定与性质,互相平行的直线的解析式的k值相等,作辅助线构造出相似三角形是解题的关键,也是本题的难点.
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如图,已知抛物线与x轴交于A(-1,0)、B(4,0)两点,与y轴交于点精英家教网C(0,3).
(1)求抛物线的解析式;
(2)求直线BC的函数解析式;
(3)在抛物线上,是否存在一点P,使△PAB的面积等于△ABC的面积,若存在,求出点P的坐标,若不存在,请说明理由.
(4)点Q是直线BC上的一个动点,若△QOB为等腰三角形,请写出此时点Q的坐标.(可直接写出结果)

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(1)求抛物线对应的函数关系式;
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如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1,且抛物线经过A(-1,0)、C(0,-3)两点,与x轴交于另一点B.
(1)求这条抛物线所对应的函数关系式;
(2)点P是抛物线对称轴上一点,若△PAB∽△OBC,求点P的坐标.

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(1)求此抛物线的解析式;
(2)①当x的取值范围满足条件
-2<x<0
-2<x<0
时,y<-3;
     ②若D(m,y1),E(2,y2)是抛物线上两点,且y1>y2,求实数m的取值范围;
(3)直线x=t平行于y轴,分别交线段AC于点M、交抛物线于点N,求线段MN的长度的最大值;
(4)若以抛物线上的点P为圆心作圆与x轴相切时,正好也与y轴相切,求点P的坐标.

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