Question

如图，矩形OABC的边OA，OC分别在x轴和y轴上，且点A的坐标为（4，0），点C的坐标为（0，2），点P在线段CB上，距离轴3个单位，有一直线y=kx+b（k≠0）经过点P，且把矩形OABC分成两部分．
（1）若直线又经过x轴上一点D，且把矩形OABC分成的两部分面积相等，求k和b的值；
（2）若直线又经过矩形边上一点Q，且把矩形OABC分成的两部分的面积比为3：29，求点Q坐标．

Answer 1

分析：（1）设出D的坐标为（x，0），由题意求出x=1，所以D的坐标为（1，0），又因为直线y=kx+b（k≠0）经过点P，
P的坐标为（3，2），把D，P的坐标分别代入，解关于k，b的方程组，可得问题答案；
（2）由图形可知点Q的位置不唯一，可在横轴上也可在纵轴上，要分别设出，有条件把矩形OABC分成的两部分的面积比为
3：29，可得关系式，问题解决．

解答：解：（1）设D（x，0），依题意得：
S_矩=4×2=8，P（3，2），
S_{四边形COAP}=

1

2

×8=4，
S_{四边形COAP}=

1

2

（x+3）×2=4，
∴x=1．
∴D（1，0）

0=k+b 2=3k+b

，
解得

k=1 b=-1

．

（2）S_△PQ1B=

3

32

×8=

3

4

，
设Q₁（4，y），
S_△PQ1B=

1

2

×1×（2-y₁）=

3

4

，
∴y₁=

1

2

，
∴Q₁（4，

1

2

）．
设Q₂（0，y₂），
∴S_△CQ2P=

1

2

×3×（2-y₂）=

3

4

∴y₂=

3

2

，
∴Q₂（0，

3

2

）
∴Q（4，

1

2

）或（0，

3

2

）．

点评：本题考查了一次函数与几何图形（矩形）的面积问题首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积．