Question

如图1、2是两个相似比为：的等腰直角三角形，将两个三角形如图3放置，小直角三角形的斜边与大直角三角形的一直角边重合。

⑴ 在图3中，绕点旋转小直角三角形，使两直角边分别与交于点，如图4。

求证：；

⑵ 若在图3中，绕点旋转小直角三角形，使它的斜边和延长线分别与交于点，如图5，此时结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由。

 

图4

⑶ 如图，在正方形中，分别是边上的点，满足的周长等于正方形的周长的一半，分别与对角线交于，试问线段、、能否构成三角形的三边长？若能，指出三角形的形状，并给出证明；若不能，请说明理由。

 

Answer 1

⑴ 在图4中，由于，将绕点旋转，得，

     、。连接

 

在中有

又垂直平分  

代换得

 在图5中，由，将绕点旋转，得

    连接

在中有

又可证≌，得V

代换得

(3)将绕点瞬时针旋转，得，且

因为的周长等于正方形周长的一半，所以

  化简得从而可得≌，

  推出

此时该问题就转化为图5中的问题了。由前面的结论知：

，再由勾股定理的逆定理知：

线段、、可构成直角三角形。