Question

己知抛物线y=ax²-4ax+b与x轴交于A，B两点，（A在B的左侧），与y轴交于C，若OB=OC，且
C（0，3）．
①求抛物线的解析式；
②设抛物线的顶点为D，点P在抛物线的对称轴上，且∠APD=∠ACB，求点P的坐标；
③在抛物线上是否存一点M，过M作MN⊥x轴于N，以A、M、N为顶点的三角形与△AOC相似，若存在，求出所有符合条件的M点坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）易知B（3，0），C（0，3），代入抛物线的解析式中，得：
，解得；
∴y=x²-4x+3．

（2）如图；
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=45°，BC=3；
易知A（1，0），D（2，-1），
则∠ADP=45°，AD=，AB=2；
∴∠ABC=∠ADP=45°；
①当点P在x轴上方时，
已知∠APD=∠ACB，则△APD∽△ACB，得：
，即，故PD=3，P（2，2）；
②当点P在x轴下方时，此时P′、P关于x轴对称，故P′（2，-2）；
因此有两个符合条件的P点，且坐标为P（2，2）或（2，-2）．

（3）∵A（1，0），C（0，3），
∴OC=3OA=3；
又∠AOC=∠ANM=90°，
若以A、M、N为顶点的三角形与△AOC相似，
则AN=3MN或3AN=MN；
设M（m，m²-4m+3），则N（m，0）；
①当m＜1时，AN=1-m，MN=m²-4m+3；
若AN=3MN，1-m=3（m²-4m+3），解得m=，m=1；
若3AN=MN，3（1-m）=m²-4m+3，解得m=0，m=1；
由于m＜1，且m≠0，故上述四个解都不符合题意；
②当1＜m＜3时，AN=m-1，MN=-（m²-4m+3）；
若AN=3MN，m-1=-3（m²-4m+3），解得m=1（舍去），m=；
若3AN=MN，3（m-1）=-（m²-4m+3），解得m=0（舍去），m=1（舍去）；
故M（，-）；
③当m＞3时，AN=m-1，MN=m²-4m+3；
若AN=3MN，m-1=3（m²-4m+3），解得m=1（舍去），m=；
若3AN=MN，3（m-1）=m²-4m+3，解得m=1（舍去），m=6；
故M（，）或（6，5）；
综上所述，存在符合条件的M点，且坐标为：M₁（，），M₂（6，5），M₃（，-）．
分析：（1）根据OB=OC，可得到C点的坐标，将B、C的坐标代入抛物线的解析式中，即可求得待定系数的值，从而确定该抛物线的解析式．
（2）根据（1）得到的抛物线的解析式，可求得顶点D的坐标，易求得∠CBO=∠ADP=45°；
当P点在x轴上方时，若∠ACB=∠APD，则△APD∽△ACB，可先求出AB、BC、AD的长，然后根据相似三角形得到的比例线段求出DP的长，从而确定P点的坐标．
当P点在x轴下方时（设为P′），点P′正好和上面所得P点关于x轴对称，由此得解．
（3）此题需要考虑的情况较多，根据A、C的坐标，易知3OA=OC，而∠AOC=∠ANM=90°，若以A、M、N为顶点的三角形与△AOC相似，则：AN=3MN或3AN=MN，可设出点M的横坐标，根据抛物线的解析式表示出它的纵坐标，然后表示出AN、MN的长，进而根据上面两种情况中不同的等量关系求得点M的坐标．（要注意的是，在表示AN、MN的长时，要根据点M的不同位置分类讨论）
点评：此题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数解析式的确定以及相似三角形的判定和性质，要注意的是（2）（3）题都需要分类讨论，一定要考虑全面，以免漏解．