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    孔明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线y=ax2（a＜0）的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O，两直角边与该抛物线交于A、B两点，请解答以下问题：
    （1）若测得OA=OB=2
    		2
    （如图1），求a的值；
    （2）对同一条抛物线，孔明将三角板绕点O旋转到如图2所示位置时，过B作BF⊥x轴于点F，测得OF=1，写出此时点B的坐标，并求点A的横坐标
     
    ；
    （3）对该抛物线，孔明将三角板绕点O旋转任意角度时惊奇地发现，交点A、B的连线段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标．
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    分析：（1）先求出B点坐标，代入抛物线y=ax2（a＜0）得a的值；
    （2）过点A作AE⊥x轴于点E，可证△AEO∽△OFB，得出AE=2OE，可得方程点A的横坐标．
    （3）设A（-m，-
    1
    2
    m2    ）（m＞0），B（n，-
    1
    2
    n2    ）（n＞0），易知△AEO∽△OFB，根据相似三角形的性质可知交点A、B的连线段总经过一个固定的点（0，-2）．
    解答：精英家教网解：（1）设线段AB与y轴的交点为C，由抛物线的对称性可得C为AB中点，
    ∵OA=OB=2
    		2
    ，∠AOB=90°，
    ∴AC=OC=BC=2，
    ∴B（2，-2），
    将B（2，-2）代入抛物线y=ax2（a＜0）得，a=-
    1
    2
    ．

    （2）解法一：过点A作AE⊥x轴于点E，
    ∵点B的横坐标为1，
    ∴B（1，-
    1
    2
    ），
    ∴BF=
    1
    2
    ．
    又∵∠AOB=90°，易知∠AOE=∠OBF，
    又∵∠AEO=∠OFB=90°，
    ∴△AEO∽△OFB，
    ∴
    AE
    OE
    =
    OF
    BF
    =
    1
    1
    2
    =2    ，
    ∴AE=2OE，
    设点A（-m，-
    1
    2
    m2    ）（m＞0），则OE=m，
    AE=
    1
    2
    m2    ，
    ∴
    1
    2
    m2=2m    ，
    ∴m=4，即点A的横坐标为-4．

    解法二：过点A作AE⊥x轴于点E，
    ∵点B的横坐标为1，
    ∴B（1，-
    1
    2
    ），
    ∴tan∠OBF=
    OF
    BF
    =
    1
    1
    2
    =2    ，
    ∵∠AOB=90°，易知∠AOE=∠OBF，
    ∴
    AE
    OE
    =tan∠AOE=tan∠OBF=2    ，
    ∴AE=2OE，
    设点A（-m，-
    1
    2
    m2    ）（m＞0），
    则OE=m，AE=
    1
    2
    m2    ，
    ∴
    1
    2
    m2=2m    ，
    ∴m=4，即点A的横坐标为-4．

    解法三：过点A作AE⊥x轴于点E，
    ∵点B的横坐标为1，
    ∴B（1，-
    1
    2
    ），
    设A（-m，-
    1
    2
    m2    ）（m＞0），
    则OB2=12+(
    1
    2
    )2=
    5
    4
    ，OA2=m2+
    1
    4
    m4    ，AB2=(1+m)2+(-
    1
    2
    +
    1
    2
    m2)2    ，
    ∵∠AOB=90°
    ∴AB2=OA2+OB2，
    ∴（1+m）2+（-
    1
    2
    +
    1
    2
    m2）2=
    5
    4
    +m2+
    1
    4
    m4，
    解得：m=4，即点A的横坐标为-4．

    （3）解法一：设A（-m，-
    1
    2
    m2    ）（m＞0），B（n，-
    1
    2
    n2    ）（n＞0），
    设直线AB的解析式为：y=kx+b，则
    -mk+b=-
    1
    2
    m2(1)
    nk+b=-
    1
    2
    n2(2)
    ，
    （1）×n+（2）×m得，(m+n)b=-
    1
    2
    (m2n+mn2)=-
    1
    2
    mn(m+n)    ，
    ∴b=-
    1
    2
    mn    （8分）
    又易知△AEO∽△OFB，
    ∴
    AE
    OF
    =
    OE
    BF
    ，
    ∴
    0.5m2
    n
    =
    m
    0.5n2
    ，
    ∴mn=4，
    ∴b=-
    1
    2
    ×4=-2    ．
    由此可知不论k为何值，直线AB恒过点（0，-2）．
    （说明：写出定点C的坐标就给2分）

    解法二：∵点A是抛物线y=-
    1
    2
    x2上的点，
    ∴设A（-m，-
    1
    2
    m2    ）（m＞0），B（n，-
    1
    2
    n2    ）（n＞0），
    直线AB与y轴的交点为C，根据S△AOB=S梯形ABFE-S△AOE-S△B0F=S△AOC+S△BOC，
    可得
    1
    2
    •(
    1
    2
    n2+
    1
    2
    m2)(m+n)-
    1
    2
    •m•
    1
    2
    m2-
    1
    2
    •n•
    1
    2
    n2=
    1
    2
    •OC•m+
    1
    2
    •OC•n    ，
    化简，得OC=
    1
    2
    mn    ．
    又易知△AEO∽△OFB，
    ∴
    AE
    OF
    =
    OE
    BF
    ，
    ∴
    0.5m2
    n
    =
    m
    0.5n2
    ，
    ∴mn=4，
    ∴OC=2为固定值．故直线AB恒过其与y轴的交点C（0，-2），
    说明：mn的值也可以通过以下方法求得．
    由前可知，OA2=m2+
    1
    4
    m4    ，OB2=n2+
    1
    4
    n4    ，AB2=(m+n)2+(-
    1
    2
    m2+
    1
    2
    n2)2    ，
    由OA2+OB2=AB2，得：(m2+
    1
    4
    m4)+(n2+
    1
    4
    n4)=(m+n)2+(-
    1
    2
    m2+
    1
    2
    n2)2    ，
    化简，得mn=4．
    本答案仅供参考，若有其他解法，请参照本评分标准评分．
    点评：本题着重考查了抛物线的对称性和相似三角形的判定和性质，第（3）问求出mn=4是解题的关键，综合性较强，有一定的难度．
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    （1）若测得（如图1），求的值；

    （2）对同一条抛物线，孔明将三角板绕点旋转到如图2所示位置时，过作轴于点，测得，写出此时点的坐标，并求点的横坐标；

    （3）对该抛物线，孔明将三角板绕点旋转任意角度时惊奇地发现，交点、的连线段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标．

     


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    （1）若测得（如图1），求a的值；
    （2）对同一条抛物线，孔明将三角板绕点O旋转到如图2所示位置时，过B作BF⊥x轴于点F，测得OF=1，写出此时点B的坐标，并求点A的横坐标______；
    （3）对该抛物线，孔明将三角板绕点O旋转任意角度时惊奇地发现，交点A、B的连线段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标．

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    （1）若测得（如图1），求a的值；
    （2）对同一条抛物线，孔明将三角板绕点O旋转到如图2所示位置时，过B作BF⊥x轴于点F，测得OF=1，写出此时点B的坐标，并求点A的横坐标______；
    （3）对该抛物线，孔明将三角板绕点O旋转任意角度时惊奇地发现，交点A、B的连线段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标．

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    （1）若测得（如图1），求a的值；
    （2）对同一条抛物线，孔明将三角板绕点O旋转到如图2所示位置时，过B作BF⊥x轴于点F，测得OF=1，写出此时点B的坐标，并求点A的横坐标______；
    （3）对该抛物线，孔明将三角板绕点O旋转任意角度时惊奇地发现，交点A、B的连线段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标．

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